Wellenfunktionen, Wahrscheinlichkeiten und Operatoren – Grundpostulate, Eigenwerte und Quantenmessung

Titelbild: Eigene Illustration eines komplexen Quantenzustands, seiner Wahrscheinlichkeitsdichte und der zentralen Operatorbeziehungen.

Die Quantenmechanik beschreibt einen physikalischen Zustand nicht durch eine klassische Bahn, sondern durch eine Wellenfunktion. Diese Funktion ist im Allgemeinen komplexwertig. Sie ist nicht direkt als Materiedichte oder mechanische Schwingung zu verstehen. Ihr Betragsquadrat liefert vielmehr die Wahrscheinlichkeitsdichte möglicher Messergebnisse.

Damit verändert sich auch die Rolle physikalischer Größen. Ort, Impuls und Energie werden durch lineare Operatoren dargestellt. Mögliche Messwerte sind deren Eigenwerte. Erwartungswerte beschreiben den Mittelwert vieler gleich präparierter Messungen, während Kommutatoren bestimmen, welche Observablen gleichzeitig scharf definiert sein können.

Teil 2 führt diese mathematische Grundsprache systematisch ein: komplexe Zahlen, Wellenfunktion, Bornsche Deutung, Normierung, Superposition, Hilbertraum, Operatoren, Eigenwertgleichungen, Erwartungswerte, Varianzen, Kommutatoren, Unschärferelation und das idealisierte Postulat der projektiven Messung.

Einordnung: Teil 1 erklärte die experimentelle Krise der klassischen Physik. Teil 2 formuliert nun die abstrakten Grundbegriffe. Teil 3 wird diese Sprache auf die Schrödinger-Gleichung und das Teilchen im eindimensionalen Kasten anwenden.

Lernziele

Nach diesem Beitrag kannst du:

• komplexe Zahlen, komplexe Konjugation und Betragsquadrat verwenden,
• Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte unterscheiden,
• eine Wellenfunktion normieren und Intervallwahrscheinlichkeiten berechnen,
• globale und relative Phase unterscheiden,
• Superpositionen und Basisentwicklungen interpretieren,
• lineare, hermitesche Operatoren und Eigenwertgleichungen einordnen,
• Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung berechnen,
• Orts-, Impuls- und Hamiltonoperator anwenden,
• Kommutatoren und Unschärferelationen interpretieren,
• die Wahrscheinlichkeiten einer idealisierten Quantenmessung bestimmen.

1. Der Zustand eines Quantensystems

In der klassischen Mechanik wird der Zustand eines Teilchens durch Ort und Impuls beschrieben. Sind Anfangsbedingungen und Kräfte bekannt, kann die Bahn berechnet werden.

In der Quantenmechanik wird ein reiner Zustand durch einen Zustandsvektor |ψ⟩ beschrieben. In der Ortsdarstellung erscheint derselbe Zustand als Wellenfunktion:

ψ(x,t) = ⟨x|ψ(t)⟩

Für drei Raumdimensionen lautet sie ψ(r,t). Bei mehreren Teilchen hängt sie von allen Teilchenkoordinaten und gegebenenfalls von Spinvariablen ab.

2. Komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl besitzt Real- und Imaginärteil:

z = a + ib

i² = −1

Die komplex konjugierte Zahl lautet:

z* = a − ib

Das Betragsquadrat ist reell und nichtnegativ:

|z|² = z*z = a² + b²

In Polarform:

z = |z|e^iφ

Die Phase φ ist für Interferenz entscheidend.

Beispiel 1: Komplexe Amplitude

Für z = 3 + 4i gilt:

z* = 3 − 4i

|z|² = 3² + 4² = 25

|z| = 5

3. Die Wellenfunktion ist eine Wahrscheinlichkeitsamplitude

Die Wellenfunktion ψ selbst ist im Allgemeinen komplex. Sie kann daher nicht unmittelbar als gewöhnliche räumliche Dichte interpretiert werden. Nach der Bornschen Deutung ist:

ρ(x,t) = |ψ(x,t)|² = ψ*(x,t)ψ(x,t)

die Wahrscheinlichkeitsdichte für eine Ortsmessung.

Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in einem kleinen Intervall dx um x zu finden, ist:

dP = |ψ(x,t)|² dx

Abbildung 1. Real- und Imaginärteil können oszillieren und ihr Vorzeichen wechseln. Das Betragsquadrat ist nichtnegativ und liefert die messbare Wahrscheinlichkeitsdichte.

4. Normierung

Das Teilchen muss mit Gesamtwahrscheinlichkeit 1 irgendwo im zugänglichen Raum gefunden werden:

∫_−∞^∞ |ψ(x,t)|² dx = 1

In drei Dimensionen:

∫ |ψ(r,t)|² dτ = 1

Ist eine gegebene Funktion φ noch nicht normiert, setzt man:

ψ = Nφ

und bestimmt N aus:

|N|²∫|φ|²dτ = 1

5. Beispiel einer Normierung

Gegeben sei:

ψ(x) = Ae^−α|x|    mit    α > 0

Dann:

1 = |A|²∫_−∞^∞e^−2α|x|dx

∫_−∞^∞e^−2α|x|dx = 1/α

|A|² = α

Wählt man A reell und positiv:

A = √α

6. Wahrscheinlichkeit in einem Intervall

Für a ≤ x ≤ b:

P(a≤x≤b) = ∫_a^b|ψ(x,t)|²dx

Wahrscheinlichkeiten sind dimensionslos. Deshalb besitzt ψ in einer Dimension die Dimension L^−1/2; in drei Dimensionen L^−3/2.

7. Zulässige Wellenfunktionen

Eine physikalisch zulässige Wellenfunktion muss im üblichen Fall:

• eindeutig sein,
• endlich bleiben,
• quadratintegrierbar sein,
• stückweise stetig sein,
• für endliche Potentiale eine hinreichend stetige erste Ableitung besitzen.

Die genauen Randbedingungen folgen aus der Schrödinger-Gleichung und der Form des Potentials.

8. Knoten

Ein Knoten ist ein Punkt oder eine Fläche, an der ψ = 0 gilt. Dort verschwindet auch |ψ|². Knoten spielen später bei Kastenfunktionen, harmonischen Oszillatorzuständen, Atomorbitalen und Molekülorbitalen eine zentrale Rolle.

9. Globale und relative Phase

Eine globale Phasenänderung:

ψ′ = e^iαψ

ändert das Betragsquadrat nicht:

|ψ′|² = |ψ|²

Die Zustände ψ und e^iαψ repräsentieren daher denselben physikalischen reinen Zustand.

Relative Phasen zwischen verschiedenen Komponenten einer Superposition sind dagegen messbar, weil sie Interferenzterme verändern.

10. Superpositionsprinzip

Sind ψ₁ und ψ₂ mögliche Zustände, dann ist auch:

ψ = c₁ψ₁ + c₂ψ₂

ein möglicher Zustand, sofern er normiert wird. Die Koeffizienten c₁ und c₂ sind komplexe Wahrscheinlichkeitsamplituden.

Wichtig ist:

|c₁ψ₁ + c₂ψ₂|²

ist im Allgemeinen nicht gleich:

|c₁ψ₁|² + |c₂ψ₂|²

Zusätzliche Kreuzterme erzeugen Interferenz.

11. Hilbertraum

Die Menge zulässiger Zustände bildet einen komplexen Vektorraum mit innerem Produkt, einen Hilbertraum. Zustände können addiert und mit komplexen Zahlen multipliziert werden.

Das innere Produkt zweier Ortswellenfunktionen lautet:

⟨φ|ψ⟩ = ∫φ*(x)ψ(x)dx

Die Norm ist:

||ψ|| = √⟨ψ|ψ⟩

Normierte Zustände erfüllen ⟨ψ|ψ⟩ = 1.

12. Orthogonalität

Zwei Zustände sind orthogonal, wenn:

⟨φ|ψ⟩ = 0

Orthogonale Eigenzustände einer Observablen entsprechen unterscheidbaren Messergebnissen. Eine orthonormale Basis erfüllt:

⟨a_m|a_n⟩ = δ_mn

13. Entwicklung in einer Basis

Ein Zustand kann in einer vollständigen orthonormalen Basis entwickelt werden:

|ψ⟩ = Σ_nc_n|a_n⟩

mit:

c_n = ⟨a_n|ψ⟩

Für einen normierten Zustand gilt:

Σ_n|c_n|² = 1

14. Operatoren

Ein Operator bildet eine Funktion oder einen Zustandsvektor auf einen anderen Zustand ab:

Â: ψ → Âψ

Quantenmechanische Observable werden durch lineare Operatoren dargestellt.

15. Linearität

Â(c₁ψ₁ + c₂ψ₂) = c₁Âψ₁ + c₂Âψ₂

Die Linearität ist die mathematische Grundlage des Superpositionsprinzips.

16. Wichtige Operatoren

Observable	Operator in Ortsdarstellung
Ort x	x̂ = x
Impuls px	p̂x = −iℏ ∂/∂x
kinetische Energie	T̂ = −ℏ²∇²/(2m)
potentielle Energie	V̂ = V(r,t)
Gesamtenergie	Ĥ = T̂ + V̂

ℏ ist die reduzierte Planck-Konstante:

ℏ = h/(2π)

17. Eigenwertgleichungen

Eine Funktion ψ_a ist Eigenfunktion von Â, wenn:

Âψ_a = aψ_a

Der Faktor a ist der zugehörige Eigenwert. Wird A im Eigenzustand ψ_a gemessen, erhält man im idealisierten projektiven Messmodell sicher den Wert a.

Abbildung 2. Operatoren repräsentieren messbare Größen. Ihre Eigenwerte bilden die möglichen Messergebnisse; Erwartungswert und Varianz charakterisieren die Statistik vieler Messungen.

18. Beispiel: Impulseigenfunktion

Betrachte die ebene Welle:

ψ_k(x) = e^ikx

Anwendung des Impulsoperators:

p̂_xψ_k = −iℏ d(e^ikx)/dx

p̂_xψ_k = ℏk e^ikx

Die ebene Welle ist daher eine Impulseigenfunktion mit Eigenwert:

p_x = ℏk

19. Der Hamiltonoperator

Der Hamiltonoperator repräsentiert die Gesamtenergie. Für ein Teilchen in einem zeitunabhängigen Potential V(x):

Ĥ = −ℏ²/(2m) · d²/dx² + V(x)

Die stationäre Schrödinger-Gleichung ist eine Eigenwertgleichung des Hamiltonoperators:

Ĥψ_n = E_nψ_n

Sie wird im nächsten Teil ausführlich behandelt.

20. Hermitesche und selbstadjungierte Operatoren

Messbare Größen müssen reelle Messwerte besitzen. Deshalb werden Observable durch selbstadjungierte Operatoren dargestellt. In elementaren Lehrbuchproblemen wird häufig der Begriff „hermitesch“ verwendet.

Für geeignete Zustände gilt:

⟨φ|Âψ⟩ = ⟨Âφ|ψ⟩

Wichtige Folgen:

• Eigenwerte sind reell.
• Eigenzustände verschiedener Eigenwerte sind orthogonal.
• Der Erwartungswert einer Observablen ist reell.

Mathematische Präzision: Bei unbeschränkten Differentialoperatoren ist der Definitionsbereich Teil des Operators. „Hermitesch“ und „selbstadjungiert“ sind dann nicht automatisch identisch. Für die grundlegenden Anwendungen dieses Kurses genügt zunächst die übliche physikalische Behandlung mit passenden Randbedingungen.

21. Erwartungswert

Der Erwartungswert von A im normierten Zustand ψ lautet:

⟨A⟩ = ⟨ψ|Â|ψ⟩

In Ortsdarstellung:

⟨A⟩ = ∫ψ*(x)Âψ(x)dx

Der Erwartungswert ist nicht zwingend ein einzelner möglicher Messwert. Er ist der Mittelwert einer großen Zahl identisch präparierter Einzelmessungen.

22. Orts- und Impulserwartungswert

⟨x⟩ = ∫ψ*(x)xψ(x)dx = ∫x|ψ(x)|²dx

⟨p_x⟩ = ∫ψ*(x)(−iℏ d/dx)ψ(x)dx

Für symmetrische Wahrscheinlichkeitsdichten um x = 0 ist häufig ⟨x⟩ = 0, obwohl das Teilchen nicht sicher bei x = 0 gefunden wird.

23. Erwartungswert in einer Eigenbasis

Für:

|ψ⟩ = Σ_nc_n|a_n⟩

und nichtentartete orthonormale Eigenzustände von  gilt:

⟨A⟩ = Σ_n|c_n|²a_n

Die Größen |c_n|² sind die Messwahrscheinlichkeiten.

Beispiel 2: Zwei mögliche Messergebnisse

Ein Zustand sei:

|ψ⟩ = (√3/2)|a₁⟩ + (1/2)|a₂⟩

Dann:

P(a₁) = 3/4

P(a₂) = 1/4

Für a₁ = 1 und a₂ = 5:

⟨A⟩ = (3/4)·1 + (1/4)·5 = 2

24. Varianz und Standardabweichung

Die Streuung einer Messgröße wird durch die Varianz beschrieben:

(ΔA)² = ⟨(Â − ⟨A⟩)²⟩

Ausmultipliziert:

(ΔA)² = ⟨A²⟩ − ⟨A⟩²

Die Standardabweichung ist:

ΔA = √(⟨A²⟩ − ⟨A⟩²)

Ist ψ ein Eigenzustand von Â, dann gilt ΔA = 0.

25. Entartung

Verschiedene linear unabhängige Eigenzustände können denselben Eigenwert besitzen. Dieser Eigenwert heißt entartet.

Eine Messung des entarteten Eigenwerts legt den Zustand nicht zwingend auf einen einzigen Basisvektor fest, sondern auf den zugehörigen Eigenraum. Zusätzliche kompatible Observable können die Zustände innerhalb dieses Raumes unterscheiden.

26. Vollständigkeit und Auflösungsrelation

Für eine diskrete vollständige orthonormale Basis:

Σ_n|a_n⟩⟨a_n| = Î

Î ist der Identitätsoperator. Diese Beziehung ermöglicht die Entwicklung jedes Zustands in der Basis der Eigenzustände.

27. Projektoren

Der Projektor auf einen normierten Eigenzustand |a_n⟩ lautet:

P̂_n = |a_n⟩⟨a_n|

Er erfüllt:

P̂_n² = P̂_n

Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses a_n ist:

P(a_n) = ⟨ψ|P̂_n|ψ⟩ = |⟨a_n|ψ⟩|²

28. Kommutatoren

Der Kommutator zweier Operatoren ist:

[Â,B̂] = ÂB̂ − B̂Â

Ist [Â,B̂] = 0, können die Operatoren unter geeigneten Bedingungen eine gemeinsame Eigenbasis besitzen. Die zugehörigen Observablen sind kompatibel.

Ist der Kommutator nicht null, hängt das Ergebnis der aufeinanderfolgenden Operationen von der Reihenfolge ab.

29. Der fundamentale Orts-Impuls-Kommutator

[x̂,p̂_x] = iℏ

Dies lässt sich durch Anwendung auf eine Testfunktion f(x) prüfen:

[x̂,p̂_x]f = x(−iℏf′) − [−iℏ(xf)′]

[x̂,p̂_x]f = iℏf

30. Allgemeine Unschärferelation

Für zwei Observable A und B gilt:

ΔA·ΔB ≥ 1/2 · |⟨[Â,B̂]⟩|

Für Ort und Impuls folgt:

Δx·Δp_x ≥ ℏ/2

Abbildung 3. Nichtkommutierende Operatoren führen zu fundamentalen Unschärferelationen. Eine ideale projektive Messung liefert einen Eigenwert und projiziert den Zustand auf den zugehörigen Eigenraum.

31. Bedeutung der Unschärfe

Die Unschärferelation ist keine Aussage über schlechte Geräte. Sie beschreibt die Streuungen von Messergebnissen in einem Quantenzustand. Ein Zustand kann nicht gleichzeitig beliebig kleine Orts- und Impulsstreuung besitzen.

Je stärker ein Wellenpaket räumlich lokalisiert wird, desto breiter muss seine Impulsverteilung sein. Mathematisch hängt dies mit der Fourier-Beziehung zwischen Orts- und Impulsdarstellung zusammen.

Beispiel 3: Minimale Impulsunschärfe

Ein Elektron sei auf Δx = 0,20 nm lokalisiert.

Δp_x ≥ ℏ/(2Δx)

Δp_x ≥ 1,055 × 10⁻³⁴ /(2·2,0 × 10⁻¹⁰)

Δp_x ≥ 2,64 × 10⁻²⁵ kg m s⁻¹

Die entsprechende Geschwindigkeitsstreuung beträgt mindestens ungefähr 2,9 × 10⁵ m s⁻¹.

32. Messpostulat

Im idealisierten projektiven Messmodell besitzt eine Observable A die Spektralzerlegung:

 = Σ_na_nP̂_n

Für einen Zustand |ψ⟩ wird der Messwert a_n mit Wahrscheinlichkeit:

P(a_n) = ⟨ψ|P̂_n|ψ⟩

erhalten. Bei einer idealen selektiven Messung wird der Zustand auf den entsprechenden Eigenraum projiziert und normiert:

|ψ⟩ → P̂_n|ψ⟩ / √⟨ψ|P̂_n|ψ⟩

Für einen nichtentarteten Eigenwert reduziert sich dies auf |a_n⟩ bis auf eine globale Phase.

33. Messung und Zustandspräparation

Eine Messung ist nicht nur das passive Ablesen eines bereits vorhandenen klassischen Wertes. Sie kann zugleich einen neuen Zustand präparieren. Wird dieselbe ideale Observable unmittelbar erneut gemessen, wird derselbe Eigenwert mit Sicherheit erhalten.

Reale Messprozesse können allgemeiner durch positive Operatorwerte und Quantenkanäle beschrieben werden. Das projektive Modell ist dennoch der zentrale Ausgangspunkt.

34. Zeitentwicklung

Zwischen Messungen entwickelt sich ein abgeschlossenes Quantensystem unitär. Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung lautet:

iℏ ∂|ψ(t)⟩/∂t = Ĥ|ψ(t)⟩

Für einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator:

|ψ(t)⟩ = e^−iĤt/ℏ|ψ(0)⟩

Die unitäre Entwicklung erhält die Norm und damit die Gesamtwahrscheinlichkeit.

35. Stationäre Zustände

Ist |E_n⟩ ein Energieeigenzustand:

Ĥ|E_n⟩ = E_n|E_n⟩

dann lautet die Zeitentwicklung:

|E_n,t⟩ = e^−iE_nt/ℏ|E_n⟩

Die Zeitabhängigkeit ist nur eine globale Phase. Deshalb bleiben |ψ|² und zeitunabhängige Erwartungswerte in diesem Zustand konstant.

36. Superposition verschiedener Energien

Für:

|ψ(0)⟩ = Σ_nc_n|E_n⟩

gilt:

|ψ(t)⟩ = Σ_nc_ne^−iE_nt/ℏ|E_n⟩

Die relativen Phasen ändern sich. Dadurch können Wahrscheinlichkeitsdichten und Erwartungswerte zeitabhängig oszillieren.

37. Wahrscheinlichkeitserhaltung und Wahrscheinlichkeitsstrom

Für die Schrödinger-Gleichung ergibt sich eine Kontinuitätsgleichung:

∂ρ/∂t + ∇·j = 0

mit ρ = |ψ|² und:

j = ℏ/(2mi) · (ψ*∇ψ − ψ∇ψ*)

Diese Gleichung drückt lokale Wahrscheinlichkeitserhaltung aus.

38. Darstellungen

Ein Zustand ist unabhängig von der gewählten Darstellung. In der Ortsdarstellung verwendet man ψ(x), in der Impulsdarstellung φ(p). Beide sind durch eine Fourier-Transformation verbunden.

φ(p) ∝ ∫ψ(x)e^−ipx/ℏdx

Ortslokalisierung und Impulsverbreiterung sind daher zwei Seiten derselben Fourier-Struktur.

39. Typische Fehler

Fehler	Korrektur
ψ als direkt messbare Dichte behandeln	Messbar ist |ψ|²; ψ enthält zusätzlich Phaseninformation.
Normierung mit ∫ψ dx = 1 verwechseln	Es muss ∫|ψ|²dτ = 1 gelten.
Globale und relative Phase gleichsetzen	Globale Phase ist unbeobachtbar; relative Phase beeinflusst Interferenz.
Operator und Messwert verwechseln	Der Operator repräsentiert die Observable; Eigenwerte sind mögliche Messergebnisse.
Erwartungswert als Ergebnis jeder Einzelmessung deuten	Er ist der statistische Mittelwert vieler identischer Präparationen.
Kommutator als gewöhnliches Produkt behandeln	Die Reihenfolge der Operatoren ist entscheidend.
Unschärfe als Gerätefehler erklären	Sie ist eine Zustandsaussage über Streuungen nichtkommutierender Observablen.
Jede komplexe Funktion als physikalische Wellenfunktion akzeptieren	Normierbarkeit, Randbedingungen und Definitionsbereiche prüfen.

40. Übungsaufgaben

Aufgabe 1: Komplexe Zahl

Für z = −2 + 3i: Bestimme z*, |z|² und |z|.

Aufgabe 2: Normierung im Intervall

Eine Wellenfunktion sei für 0 < x < L gegeben durch ψ(x) = A sin(πx/L) und außerhalb des Intervalls null. Bestimme A reell und positiv.

Aufgabe 3: Intervallwahrscheinlichkeit

Ein Teilchen besitzt im Bereich 0 ≤ x ≤ L die konstante normierte Wellenfunktion ψ = 1/√L. Berechne die Wahrscheinlichkeit für L/4 ≤ x ≤ 3L/4.

Aufgabe 4: Erwartungswert und Ortsunschärfe

Verwende dieselbe konstante Wellenfunktion aus Aufgabe 3. Berechne ⟨x⟩, ⟨x²⟩ und Δx.

Aufgabe 5: Superposition

|1⟩ und |2⟩ seien orthonormale Zustände. Prüfe die Normierung von |ψ⟩ = (|1⟩ + i|2⟩)/√2 und bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse 1 und 2 bei einer Messung in dieser Basis.

Aufgabe 6: Impulsoperator

Zeige, dass ψ_k(x) = e^ikx eine Eigenfunktion von p̂_x = −iℏd/dx ist. Bestimme den Eigenwert.

Aufgabe 7: Kinetische Energie

Wende T̂ = −ℏ²/(2m)·d²/dx² auf e^ikx an. Bestimme den Energieeigenwert.

Aufgabe 8: Messstatistik eines Zweizustandssystems

Ein Zustand sei |ψ⟩ = (√3/2)|a₁⟩ + (1/2)|a₂⟩ mit a₁ = 1 und a₂ = 5. Berechne beide Messwahrscheinlichkeiten, ⟨A⟩, ⟨A²⟩ und ΔA.

Aufgabe 9: Orts-Impuls-Kommutator

Wende [x̂,p̂_x] auf eine differenzierbare Testfunktion f(x) an und zeige, dass das Ergebnis iℏf(x) ist.

Aufgabe 10: Unschärferelation

Ein Elektron sei durch Δx = 0,20 nm lokalisiert. Berechne die kleinste zulässige Impulsunschärfe und die zugehörige minimale Geschwindigkeitsunschärfe.

41. Vollständige Lösungen

Lösung 1

z* = −2 − 3i

|z|² = (−2)² + 3² = 13

|z| = √13 ≈ 3,61

Lösung 2

Normierungsbedingung:

1 = |A|²∫₀^Lsin²(πx/L)dx

Das Integral beträgt L/2:

1 = |A|²L/2

A = √(2/L)

Lösung 3

P = ∫_L/4^3L/4|1/√L|²dx

P = (1/L)(3L/4 − L/4) = 1/2

Lösung 4

⟨x⟩ = (1/L)∫₀^Lx dx = L/2

⟨x²⟩ = (1/L)∫₀^Lx² dx = L²/3

(Δx)² = L²/3 − L²/4 = L²/12

Δx = L/√12

Lösung 5

⟨ψ|ψ⟩ = 1/2(⟨1|1⟩ + ⟨2|2⟩) = 1

Die Kreuzterme verschwinden wegen ⟨1|2⟩ = 0.

P(1) = |1/√2|² = 1/2

P(2) = |i/√2|² = 1/2

Der Faktor i ist eine relative Phase. Er ändert die Messwahrscheinlichkeiten in dieser Basis nicht, kann aber Interferenz in einer anderen Basis beeinflussen.

Lösung 6

p̂_xe^ikx = −iℏ(ik)e^ikx

p̂_xe^ikx = ℏk e^ikx

Der Eigenwert ist p_x = ℏk.

Lösung 7

d²e^ikx/dx² = −k²e^ikx

T̂e^ikx = ℏ²k²/(2m) · e^ikx

Der Energieeigenwert lautet:

E = ℏ²k²/(2m) = p²/(2m)

Lösung 8

P(a₁) = 3/4    und    P(a₂) = 1/4

⟨A⟩ = (3/4)·1 + (1/4)·5 = 2

⟨A²⟩ = (3/4)·1² + (1/4)·5² = 7

(ΔA)² = 7 − 2² = 3

ΔA = √3 ≈ 1,73

Lösung 9

[x̂,p̂_x]f = x(−iℏf′) − [−iℏ(xf)′]

(xf)′ = f + xf′

[x̂,p̂_x]f = −iℏxf′ + iℏ(f + xf′)

[x̂,p̂_x]f = iℏf

Daher gilt als Operatoridentität [x̂,p̂_x] = iℏ.

Lösung 10

Δx = 0,20 nm = 2,0 × 10⁻¹⁰ m.

Δp_x ≥ ℏ/(2Δx)

Δp_x ≥ 1,0546 × 10⁻³⁴/(4,0 × 10⁻¹⁰)

Δp_x ≥ 2,64 × 10⁻²⁵ kg m s⁻¹

Δv_x ≥ Δp_x/m_e

Δv_x ≥ 2,90 × 10⁵ m s⁻¹

42. Zusammenfassung

• Ein reiner Quantenzustand wird durch |ψ⟩ beziehungsweise ψ(x,t) beschrieben.
• Die Wellenfunktion ist im Allgemeinen komplex und selbst nicht direkt messbar.
• Die Bornsche Deutung identifiziert |ψ|² als Wahrscheinlichkeitsdichte.
• Normierte Zustände erfüllen ⟨ψ|ψ⟩ = 1.
• Globale Phasen sind unbeobachtbar, relative Phasen erzeugen Interferenz.
• Das Superpositionsprinzip folgt aus der Linearität des Zustandsraums.
• Observable werden durch selbstadjungierte Operatoren dargestellt.
• Eigenwerte sind mögliche Messergebnisse.
• Erwartungswert und Varianz beschreiben die Statistik vieler Messungen.
• Nichtkommutierende Operatoren führen zu fundamentalen Unschärferelationen.
• Eine ideale projektive Messung projiziert den Zustand auf den gemessenen Eigenraum.
• Zwischen Messungen erfolgt die Zeitentwicklung unitär nach der Schrödinger-Gleichung.

43. Häufig gestellte Fragen

Ist die Wellenfunktion eine reale physikalische Welle?

Sie ist eine komplexe Wahrscheinlichkeitsamplitude. Ihr Betragsquadrat liefert messbare Wahrscheinlichkeiten. Ob und in welchem Sinn ψ ontologisch „real“ ist, gehört zu den Interpretationsfragen der Quantenmechanik.

Warum braucht man komplexe Zahlen?

Komplexe Phasen ermöglichen Interferenz und eine normerhaltende Zeitentwicklung. Eine ausschließlich reelle Formulierung wäre wesentlich unhandlicher und würde die natürliche Struktur der Theorie verdecken.

Kann ein Erwartungswert ein unmöglicher Einzelmesswert sein?

Ja. Bei Messergebnissen 1 und 5 kann der Erwartungswert beispielsweise 2 sein, obwohl 2 bei keiner Einzelmessung auftritt.

Ist jede normierte Funktion automatisch ein physikalischer Zustand?

Nein. Sie muss außerdem im Definitionsbereich der relevanten Operatoren liegen und die passenden Randbedingungen erfüllen.

Ist die Unschärferelation eine Folge der Messstörung?

Nicht primär. Die Standardabweichungsrelation folgt bereits aus dem Zustand und den nichtkommutierenden Operatoren. Messstörung ist eine verwandte, aber konzeptionell andere Fragestellung.

Was bedeutet der Kollaps der Wellenfunktion?

Im projektiven Lehrbuchmodell bezeichnet er die zustandsmäßige Aktualisierung auf den gemessenen Eigenraum. Verschiedene Interpretationen erklären diesen Schritt unterschiedlich.

44. Ausblick auf Teil 3

Teil 3 behandelt die zeitabhängige und zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung und das Teilchen im eindimensionalen unendlichen Potentialkasten. Dort werden Randbedingungen, diskrete Energien, Knoten, Orthogonalität, Erwartungswerte und der klassische Grenzfall erstmals an einem vollständig lösbaren Modell zusammengeführt.

Literatur und weiterführende Quellen

1. P. Atkins, J. de Paula & J. Keeler: Atkins’ Physical Chemistry. Oxford University Press.
2. D. A. McQuarrie & J. D. Simon: Physical Chemistry: A Molecular Approach. University Science Books.
3. P. W. Atkins & R. S. Friedman: Molecular Quantum Mechanics. Oxford University Press.
4. D. J. Griffiths & D. F. Schroeter: Introduction to Quantum Mechanics. Cambridge University Press.
5. J. J. Sakurai & J. Napolitano: Modern Quantum Mechanics. Cambridge University Press.

Didaktischer Hinweis: Der Artikel verwendet das übliche projektive Messpostulat und diskrete orthonormale Basen als Einstieg. Kontinuierliche Spektren, Spektraltheorie, Dichtematrizen, verallgemeinerte Messungen und offene Quantensysteme werden damit noch nicht vollständig erfasst.

Bild- und Nutzungsnachweis: Das Titelbild und die Abbildungen 1–3 wurden eigens für diesen Blogartikel mit selbst erstelltem Programmcode erzeugt. Es wurden keine Grafiken aus Lehrbüchern oder anderen Publikationen übernommen. Die Abbildungen sind für die Verwendung in diesem monetarisierbaren Blog vorgesehen.