Titelbild: Eigene Illustration einer Wellenfunktion, die eine endliche Potentialbarriere durchdringt und auf der anderen Seite mit kleinerer Amplitude weiterläuft.
Eine endliche Potentialbarriere ist für ein Quantenteilchen nicht vollkommen undurchdringlich. Selbst wenn seine Gesamtenergie kleiner als die Barrierenhöhe ist, kann die Wellenfunktion in den klassisch verbotenen Bereich eindringen. Ist die Barriere hinreichend schmal, bleibt auf der gegenüberliegenden Seite eine endliche transmittierte Amplitude zurück. Dieser Effekt wird quantenmechanisches Tunneln genannt.
Auch ein endlicher Potentialtopf unterscheidet sich grundlegend vom unendlichen Kasten. Die Wellenfunktion endet nicht abrupt an der Wand, sondern fällt außerhalb exponentiell ab. Dadurch ist das Teilchen mit kleiner Wahrscheinlichkeit außerhalb des klassischen Einschlussbereichs nachweisbar. Die Energien liegen niedriger als beim gleich breiten unendlichen Kasten, und ein endlicher Topf besitzt nur endlich viele gebundene Zustände.
Teil 4 behandelt endliche Potentialtöpfe, Potentialstufen und rechteckige Barrieren. Hergeleitet werden die exponentiellen Lösungen in klassisch verbotenen Bereichen, die Stetigkeitsbedingungen an Potentialgrenzen, Tunnelwahrscheinlichkeiten, die WKB-Näherung sowie Anwendungen in Rastertunnelmikroskopie, Kernzerfall, Halbleiterphysik und chemischen Reaktionen.
Lernziele
- klassisch erlaubte und klassisch verbotene Bereiche unterscheiden,
- oszillatorische und exponentielle Lösungen der Schrödinger-Gleichung zuordnen,
- die Stetigkeitsbedingungen an endlichen Potentialsprüngen anwenden,
- gerade und ungerade Zustände eines symmetrischen endlichen Topfes beschreiben,
- erklären, warum ein endlicher Topf nur endlich viele gebundene Zustände besitzt,
- Reflexions- und Transmissionswahrscheinlichkeiten interpretieren,
- die Tunnelkonstante κ und die Eindringtiefe berechnen,
- die exponentielle Näherung T ≈ exp(−2κa) anwenden,
- die WKB-Näherung für beliebige Barrieren einordnen,
- Masseneffekt, Barrierenbreite und Barrierenhöhe auf Tunnelraten übertragen,
- wichtige Anwendungen des Tunneleffekts erklären.
1. Klassisch erlaubte und verbotene Bereiche
Für ein Teilchen mit Gesamtenergie E und Potentialenergie V(x) ist die klassische kinetische Energie:
Ein Bereich ist klassisch erlaubt, wenn E ≥ V(x). Dort kann die klassische kinetische Energie nichtnegativ sein.
Ein Bereich ist klassisch verboten, wenn:
In der klassischen Mechanik kann das Teilchen einen solchen Bereich nicht betreten. In der Quantenmechanik verschwindet die Wellenfunktion dort jedoch im Allgemeinen nicht.
2. Stationäre Schrödinger-Gleichung
In einer Dimension:
Umgestellt:
Das Vorzeichen von E−V bestimmt die Form der Lösung.
3. Lösung im klassisch erlaubten Bereich
Für E > V und ein konstantes Potential:
Die Lösungen sind oszillatorisch:
oder äquivalent:
4. Lösung im klassisch verbotenen Bereich
Für E < V definiert man:
Dann:
Die Lösungen sind exponentiell:
Welche der beiden Komponenten zulässig ist, hängt von der Geometrie und der Forderung nach Normierbarkeit ab.
5. Eindringtiefe
Eine abklingende Amplitude besitzt die Form:
Die charakteristische Eindringtiefe der Amplitude ist:
Die Wahrscheinlichkeitsdichte fällt doppelt so schnell im Exponenten:
Für ein Elektron und V−E = 2,00 eV:
Die Amplitude fällt auf der Längenskala eines Bruchteils eines Nanometers ab.
6. Stetigkeitsbedingungen an endlichen Potentialgrenzen
An einer endlichen Sprungstelle des Potentials müssen im üblichen eindimensionalen Fall sowohl die Wellenfunktion als auch ihre erste Ableitung stetig sein:
Diese Bedingungen folgen durch Integration der Schrödinger-Gleichung über ein infinitesimal kleines Intervall um die Grenzstelle, sofern dort keine Deltafunktion im Potential vorliegt.
7. Warum die Wellenfunktion nicht abrupt endet
Ein abrupter Sprung von ψ würde zu singulären Ableitungen führen und wäre mit einer endlichen kinetischen Energie unvereinbar. Daher setzt sich die Wellenfunktion über eine endliche Potentialgrenze hinweg fort.
Beim unendlichen Potentialkasten ist die Wand ein mathematischer Grenzfall. Dort wird die Wellenfunktion außerhalb gleich null gesetzt, und die Randbedingungen werden entsprechend idealisiert.
8. Der symmetrische endliche Potentialtopf
Wir betrachten:
Gebundene Zustände erfüllen:
Im Inneren ist die Lösung oszillatorisch, außerhalb exponentiell abklingend.
9. Parität
Da V(x) = V(−x) gilt, kann man Eigenfunktionen mit bestimmter Parität wählen:
- gerade Zustände: ψ(−x) = ψ(x)
- ungerade Zustände: ψ(−x) = −ψ(x)
Gerade und ungerade Zustände treten abwechselnd mit steigender Energie auf. Der Grundzustand ist gerade und besitzt keinen inneren Knoten.
10. Lösungen im symmetrischen Topf
Im Inneren definiert man:
Außerhalb:
Für gerade Zustände kann man innen cos(kx), für ungerade Zustände sin(kx) verwenden. Außen werden ausschließlich abklingende Exponentialfunktionen zugelassen.
Abbildung 1. Gebundene Zustände oszillieren im Inneren und fallen außerhalb exponentiell ab. An den endlichen Potentialgrenzen sind Wellenfunktion und erste Ableitung stetig.
11. Eigenwertbedingungen
Aus den Stetigkeitsbedingungen folgen für gerade Zustände:
Für ungerade Zustände:
Zusätzlich gilt:
Die Gleichungen sind transzendent und werden meist grafisch oder numerisch gelöst.
12. Dimensionlose Darstellung
Mit:
werden die Bedingungen:
für gerade Zustände und:
für ungerade Zustände. Die Schnittpunkte bestimmen die erlaubten Energien.
13. Endliche Zahl gebundener Zustände
Anders als der unendliche Kasten besitzt ein endlicher Topf nur endlich viele Lösungen mit E < V0. Je tiefer und breiter der Topf und je größer die Teilchenmasse, desto mehr gebundene Zustände können existieren.
Die maßgebliche dimensionslose Stärke ist z0. Sie wächst mit a, √m und √V0.
14. Vergleich mit dem unendlichen Kasten
| Eigenschaft | Unendlicher Kasten | Endlicher Topf |
|---|---|---|
| Wellenfunktion außerhalb | exakt null | exponentiell abklingend |
| Zahl gebundener Zustände | unendlich | endlich |
| Energien | analytisch En ∝ n² | meist transzendent zu bestimmen |
| effektive räumliche Ausdehnung | genau durch die Wände begrenzt | größer durch Eindringen in die Barrieren |
| Energien bei gleicher Innenbreite | höher | niedriger |
15. Wahrscheinlichkeit außerhalb des Topfes
Da ψ außerhalb nicht null ist, besteht eine endliche Wahrscheinlichkeit, das Teilchen dort zu messen:
Diese Wahrscheinlichkeit wächst für flachere Töpfe und für Zustände näher an der Barrierenkante V0.
16. Gebundene und ungebundene Zustände
Für E < V0 sind die Zustände gebunden und außerhalb exponentiell abklingend. Für E > V0 ist die Wellenfunktion auch außerhalb oszillatorisch. Dann handelt es sich um Streu- oder Kontinuumszustände.
Das Spektrum eines endlichen Topfes enthält daher einen diskreten gebundenen Anteil und oberhalb der Schwelle ein kontinuierliches Spektrum.
17. Die Potentialstufe
Eine einzelne Potentialstufe ist das einfachste Streuproblem. Das Potential sei:
Für E > V0 kann das Teilchen beide Bereiche klassisch durchlaufen. Quantenmechanisch tritt dennoch im Allgemeinen eine teilweise Reflexion auf.
18. Quantenmechanische Reflexion oberhalb der Stufe
Die Wellenzahlen lauten:
Für einen von links einfallenden Strom ergeben sich:
Es gilt R + T = 1. Die Reflexion ist eine reine Wellenerscheinung und tritt selbst dann auf, wenn die klassische Bewegung nicht verboten ist.
19. Stufe mit E < V0
Für eine halbunendliche Stufe dringt die Wellenfunktion exponentiell in den rechten Bereich ein, erzeugt dort aber keinen stationären Strom bis ins Unendliche. Daher gilt:
Die endliche Dichte im verbotenen Bereich bedeutet also nicht automatisch Transmission. Für Tunneln muss die Barriere eine endliche Breite besitzen.
20. Rechteckige Potentialbarriere
Wir betrachten eine Barriere der Höhe V0 und Breite a:
Für E < V0 ist der Bereich innerhalb der Barriere klassisch verboten. Die Wellenfunktion besteht aus:
- einfallender und reflektierter Welle links,
- zwei exponentiellen Komponenten in der Barriere,
- einer transmittierten Welle rechts.
21. Wellenfunktionen in den drei Bereichen
Bereich I, x < 0:
Bereich II, 0 < x < a:
Bereich III, x > a:
mit:
Eine von rechts einfallende Welle wird nicht angesetzt.
22. Transmissions- und Reflexionskoeffizient
Der Wahrscheinlichkeitsstrom einer ebenen Welle ist proportional zu Wellenzahl und Betragsquadrat ihrer Amplitude. Da links und rechts dasselbe Potential gilt:
Für eine reelle stationäre Barriere ohne Absorption gilt:
Abbildung 2. Innerhalb der Barriere ist die Lösung exponentiell. Bei endlicher Breite bleibt auf der rechten Seite eine transmittierte Welle mit endlicher Wahrscheinlichkeit zurück.
23. Exakte Transmission für E < V0
Aus den vier Stetigkeitsbedingungen an x = 0 und x = a folgt:
Die genaue Formel enthält neben dem dominierenden Exponentialfaktor einen Vorfaktor, der besonders bei dünnen oder niedrigen Barrieren wichtig ist.
24. Näherung für eine hohe oder breite Barriere
Für κa ≫ 1 gilt sinh(κa) ≈ eκa/2. Der wichtigste Zusammenhang ist dann:
Als einfache Größenordnungsnäherung verwendet man häufig:
Diese Gleichung zeigt die außerordentliche Empfindlichkeit des Tunneleffekts.
Ein Elektron trifft auf eine Barriere mit V0−E = 1,00 eV und a = 0,500 nm.
Die einfache Näherung liefert eine Tunnelwahrscheinlichkeit von ungefähr 0,6 Prozent pro einfallendem Ereignis.
25. Einfluss der Barrierenbreite
Da a im Exponenten steht, bewirken kleine Abstandsänderungen große relative Änderungen:
Diese Abhängigkeit ermöglicht die atomare Höhenauflösung eines Rastertunnelmikroskops.
26. Einfluss der Teilchenmasse
Schwere Teilchen tunneln bei gleicher Energie und Barriere deutlich schwächer als leichte. Elektronentunneln ist daher verbreitet. Protonentunneln kann noch relevant sein, während das Tunneln schwerer Atome meist nur bei schmalen Barrieren und niedrigen Temperaturen bedeutend wird.
27. Einfluss der Barrierenhöhe
Je näher E an V0 liegt, desto kleiner wird κ und desto größer die Transmission. Die Tunnelwahrscheinlichkeit hängt jedoch nicht ausschließlich von der Differenz V0−E ab; für quantitative Rechnungen muss das vollständige Potential berücksichtigt werden.
28. Transmission oberhalb der Barriere
Für E > V0 oszilliert die Wellenfunktion auch innerhalb der Barriere. Die exakte Transmission lautet:
mit:
Auch oberhalb der Barriere kann Reflexion auftreten. Für qa = nπ wird T = 1: Die Barriere wird resonant vollständig transparent.
29. Resonante Transmission
Die Wellen innerhalb einer endlichen Struktur können konstruktiv oder destruktiv interferieren. Bei passenden Phasenbedingungen entstehen Transmissionsmaxima. Doppelbarrieren können quasi-gebundene Zustände einschließen und besonders scharfe Resonanzen erzeugen.
Dieses Prinzip wird in Resonanz-Tunneldioden und Quanten-Heterostrukturen genutzt.
30. WKB-Näherung
Für ein langsam veränderliches Potential lässt sich die Tunnelwahrscheinlichkeit semiklassisch abschätzen. Zwischen den klassischen Umkehrpunkten x1 und x2, an denen V(x) = E gilt:
Die WKB-Tunnelwahrscheinlichkeit ist näherungsweise:
Für eine rechteckige Barriere wird daraus wieder exp(−2κa).
31. Gültigkeit der WKB-Näherung
WKB funktioniert gut, wenn sich das Potential über eine lokale Wellenlänge nur langsam verändert. In der Nähe klassischer Umkehrpunkte versagt die einfache Form und muss durch Verbindungsformeln ergänzt werden.
Bei sehr dünnen, abrupten oder resonanten Strukturen ist die exakte Lösung oft vorzuziehen.
32. Tunneln und Energieerhaltung
Ein tunneldes Teilchen „leiht“ sich keine Energie. Vor und nach der Barriere wird bei einem stationären Streuprozess dieselbe Gesamtenergie E gemessen. Innerhalb des klassisch verbotenen Bereichs ist die Wellenfunktion exponentiell; eine klassische Zerlegung in positive kinetische Energie und Bahn ist dort nicht anwendbar.
33. Tunnelzeit
Die Frage, wie lange ein Teilchen „in der Barriere“ verbringt, besitzt mehrere nichtäquivalente quantenmechanische Definitionen, etwa Phasenzeit, Verweilzeit und Larmor-Zeit. Deshalb sollte aus der bloßen Transmission keine einfache klassische Durchquerungsgeschwindigkeit abgeleitet werden.
Für diesen Grundkurs steht die Wahrscheinlichkeit der Transmission im Mittelpunkt.
34. Rastertunnelmikroskopie
Beim Rastertunnelmikroskop wird eine leitfähige Spitze bis auf einen Abstand von typischerweise wenigen Ångström an eine leitfähige Oberfläche angenähert. Eine angelegte Spannung ermöglicht Elektronentunneln durch die Vakuumbarriere.
s ist der Abstand zwischen Spitze und Probe. Schon eine sehr kleine Höhenänderung verändert den Tunnelstrom deutlich. Eine Rückkopplung kann daher Oberflächenstrukturen mit atomarer Auflösung abbilden.
35. α-Zerfall
Ein α-Teilchen ist im Atomkern durch die starke Wechselwirkung gebunden. Außerhalb des Kerns wirkt eine Coulomb-Barriere, die höher als die kinetische Energie des α-Teilchens sein kann.
Die endliche Tunnelwahrscheinlichkeit durch diese Barriere erklärt den Zerfall. Kleine Änderungen der Zerfallsenergie verändern den WKB-Exponenten stark und führen zu sehr unterschiedlichen Halbwertszeiten.
36. Kernfusion in Sternen
Positiv geladene Kerne stoßen sich elektrostatisch ab. Bei stellaren Temperaturen besitzen nur wenige Teilchen genügend klassische Energie, um die Coulomb-Barriere vollständig zu überwinden. Tunneln erhöht dennoch die Wahrscheinlichkeit, den Bereich der starken Kernkraft zu erreichen.
Die Kombination aus thermischer Energieverteilung und Tunnelwahrscheinlichkeit führt zum Gamow-Fenster der astrophysikalischen Reaktionsraten.
37. Feldemission
Ein starkes elektrisches Feld verformt die Potentialbarriere an einer Metalloberfläche. Elektronen können durch die dünner gewordene Barriere ins Vakuum tunneln. Der Feldemissionsstrom wird in guter Näherung durch die Fowler-Nordheim-Theorie beschrieben.
38. Halbleiterbauelemente
Tunneln ist zentral für:
- Tunneldioden,
- Resonanz-Tunneldioden,
- Flash-Speicher,
- Josephson-Kontakte,
- Quantenpunkt- und Heterostrukturbauelemente.
In Josephson-Kontakten tunneln korrelierte Cooper-Paare durch eine dünne isolierende Schicht.
39. Elektronentransfer in der Chemie
Bei Elektronentransferreaktionen kann ein Elektron zwischen Donor und Akzeptor tunneln. Die elektronische Kopplung nimmt häufig stark mit dem Abstand ab.
und näherungsweise:
R ist der Donor-Akzeptor-Abstand und β ein mediumspezifischer Abklingparameter.
40. Protonen- und Wasserstofftunneln
Protonen sind viel schwerer als Elektronen, aber wesentlich leichter als die meisten Atomkerne. Bei schmalen Reaktionsbarrieren kann Protonentunneln daher messbar sein.
Typische Hinweise sind:
- große kinetische Isotopeneffekte,
- ungewöhnliche Temperaturabhängigkeiten,
- Reaktionsraten bei sehr niedrigen Temperaturen,
- Abweichungen von einer einfachen Arrhenius-Beschreibung.
41. Kinetischer Isotopeneffekt
Deuterium besitzt ungefähr die doppelte Masse eines Protons. Da der Tunnel-Exponent mit √m wächst, tunnelt Deuterium schwächer.
Die Isotopensubstitution verändert außerdem Nullpunktsenergien und Schwingungsfrequenzen. Ein beobachteter Isotopeneffekt ist daher nicht automatisch ein eindeutiger Tunnelbeweis, kann aber zusammen mit weiteren Daten darauf hinweisen.
42. Inversion des Ammoniakmoleküls
Im Ammoniakmolekül kann das Stickstoffatom zwischen zwei äquivalenten pyramidalen Konfigurationen wechseln. Die planare Struktur liegt dazwischen als Barriere.
Quantenmechanisches Tunneln koppelt die beiden klassischen Minima. Dadurch entstehen symmetrische und antisymmetrische Zustände mit einer kleinen Energieaufspaltung, die spektroskopisch beobachtet werden kann.
43. Tunneln in enzymatischen Reaktionen
In einigen Enzymreaktionen können Wasserstoff- oder Elektronentransferprozesse Tunnelbeiträge enthalten. Das Protein beeinflusst dabei Geometrie, Donor-Akzeptor-Abstand, Reorganisationsenergie und Fluktuationen.
Die Aussage, ein Enzym „verursache“ Tunneln, wäre zu einfach. Enzyme gestalten die gesamte freie Energielandschaft und können Konfigurationen begünstigen, in denen quantenmechanischer Transfer effizienter ist.
Abbildung 3. Derselbe mathematische Mechanismus erklärt Phänomene von atomarer Oberflächenabbildung über chemischen Transfer bis zu Kernzerfall und Sternfusion.
44. Temperatur und Tunneln
Reines Tunneln benötigt keine thermische Energie, doch reale Tunnelraten können stark temperaturabhängig sein. Temperatur beeinflusst:
- die Besetzung verschiedener Ausgangszustände,
- Schwingungsanregungen,
- Strukturfluktuationen,
- Reorganisationsprozesse der Umgebung,
- die effektive Barrierenform.
Bei tiefen Temperaturen kann eine Rate in einen schwach temperaturabhängigen Tunnelbereich übergehen.
45. Tunneln und klassische Aktivierung
Bei einer chemischen Reaktion können mehrere Wege beitragen:
- klassische Überquerung der Barriere,
- Tunneln aus dem Grundzustand,
- thermisch unterstütztes Tunneln aus angeregten Zuständen.
Die beobachtete Rate ist die Summe oder geeignete Kombination dieser Beiträge. Übergangszustandstheorie kann durch Tunnelkorrekturen erweitert werden.
46. Typische Fehler
| Fehler | Korrektur |
|---|---|
| ψ im verbotenen Bereich gleich null setzen | Bei endlichem Potential fällt ψ exponentiell ab, verschwindet aber nicht sofort. |
| Amplitude und Wahrscheinlichkeit gleichsetzen | ψ fällt wie e−κx, die Dichte wie e−2κx. |
| Eindringen in eine halbunendliche Stufe als Transmission deuten | Bei E < V0 und halbunendlicher Stufe gilt stationär R = 1. |
| T ≈ e−2κa als exakte Formel behandeln | Sie ist eine Exponentialnäherung; die exakte Rechteckformel besitzt einen Vorfaktor. |
| Tunneln als Energieverletzung erklären | Die Gesamtenergie bleibt erhalten. |
| Nur die Barrierenhöhe betrachten | Masse, Breite, Form und Teilchenenergie sind ebenfalls entscheidend. |
| Stetigkeit von dψ/dx an jedem beliebigen Potential annehmen | Delta-Potentiale oder variable effektive Massen erfordern modifizierte Bedingungen. |
| Großen Isotopeneffekt automatisch als Tunnelbeweis werten | Auch Nullpunktsenergie und klassische Schwingungseffekte beitragen. |
47. Übungsaufgaben
Aufgabe 1: Tunnelkonstante und Eindringtiefe
Ein Elektron befindet sich in einem Bereich, in dem V−E = 2,00 eV gilt. Berechne κ und die Eindringtiefe δ = 1/κ.
Aufgabe 2: Abklingen von Amplitude und Dichte
Eine Wellenfunktion fällt außerhalb eines Topfes wie ψ(x) = ψ(0)e−x/δ mit δ = 0,200 nm ab. Bestimme bei x = 0,400 nm das Verhältnis ψ(x)/ψ(0) und |ψ(x)|²/|ψ(0)|².
Aufgabe 3: Einfache Tunnelwahrscheinlichkeit
Ein Elektron trifft auf eine rechteckige Barriere mit V0−E = 1,00 eV und Breite a = 0,500 nm. Schätze T mit T ≈ exp(−2κa).
Aufgabe 4: Empfindlichkeit gegenüber der Breite
Für dieselbe Elektronenbarriere aus Aufgabe 3 wird die Breite von 0,500 nm auf 0,600 nm erhöht. Berechne das Verhältnis T(0,600 nm)/T(0,500 nm) und die neue Tunnelwahrscheinlichkeit.
Aufgabe 5: Exakte Rechteckbarriere
Ein Elektron besitzt E = 1,00 eV und trifft auf eine Barriere mit V0 = 5,00 eV und a = 0,200 nm. Berechne κ, die exakte Transmission und die einfache Exponentialnäherung.
Aufgabe 6: Reflexion oberhalb einer Potentialstufe
Ein Elektron mit E = 4,00 eV trifft auf eine Potentialstufe V0 = 1,00 eV. Berechne R und T.
Aufgabe 7: Isotopeneffekt im Tunnelmodell
Für ein Proton sei der Tunnel-Exponent 2κHa = 8,00. Schätze TH, TD und TD/TH, wenn für Deuterium mD ≈ 2mH gilt.
Aufgabe 8: Rastertunnelmikroskopie
Der Tunnelstrom gehorche I ∝ exp(−2κs) mit κ = 10,0 nm−1. Um welchen Faktor ändert sich I, wenn der Spitzenabstand um 0,100 nm zunimmt?
Aufgabe 9: Resonante Transmission
Für E > V0 tritt bei qa = π die erste vollständige Resonanz auf. Bestimme für ein Elektron mit E−V0 = 4,00 eV die erforderliche Barrierenbreite a.
Aufgabe 10: Konzeptvergleich
Erkläre, warum ein endlicher Potentialtopf bei gleicher Innenbreite niedrigere gebundene Energien als der unendliche Kasten besitzt und weshalb nur endlich viele gebundene Zustände existieren.
48. Vollständige Lösungen
Da x/δ = 0,400/0,200 = 2:
Die Amplitude beträgt noch etwa 13,5 Prozent, die Dichte aber nur etwa 1,83 Prozent des Grenzwerts.
Für ein Elektron und V0−E = 1,00 eV:
Die Näherung ergibt rund 0,596 Prozent.
Eine Zunahme der Breite um nur 0,100 nm reduziert die Transmission auf etwa 35,9 Prozent des ursprünglichen Werts.
Hier ist V0−E = 4,00 eV:
Exakte Formel:
Einfache Exponentialnäherung:
Die Exponentialform gibt die Größenordnung und die starke Parameterabhängigkeit wieder, unterschätzt hier aber die exakte Transmission.
Obwohl die Stufe klassisch überwindbar ist, werden etwa 0,515 Prozent reflektiert.
Wegen κ ∝ √m:
Deuterium tunnelt in diesem vereinfachten Modell nur mit etwa 3,64 Prozent der Protonwahrscheinlichkeit.
Der Strom sinkt auf etwa 13,5 Prozent. Umgekehrt würde eine Annäherung um 0,100 nm den Strom ungefähr um den Faktor e² ≈ 7,39 erhöhen.
Für qa = π:
Bei dieser Breite ist die erste Resonanzbedingung erfüllt und die ideale Rechteckbarriere wird vollständig transparent.
Die Wellenfunktion dringt in die endlichen Wände ein. Dadurch ist die effektive räumliche Ausdehnung größer als die reine Innenbreite. Größere räumliche Ausdehnung bedeutet kleinere typische Wellenzahlen und daher niedrigere kinetische Energien.
Gebundene Zustände müssen E < V0 erfüllen. Mit steigender Quantenzahl wächst die Energie. Sobald die Energie die Barrierenhöhe erreicht, geht der Zustand in das kontinuierliche Streuspektrum über. Deshalb existiert nur eine endliche Zahl gebundener Zustände.
49. Zusammenfassung
- In klassisch verbotenen Bereichen mit E < V ist die Wellenfunktion exponentiell statt oszillatorisch.
- Die Abklingkonstante ist κ = √[2m(V−E)]/ℏ.
- Die Amplitude fällt wie e−κx, die Wahrscheinlichkeitsdichte wie e−2κx.
- An endlichen Potentialsprüngen sind ψ und dψ/dx im Standardfall stetig.
- Ein endlicher Potentialtopf besitzt exponentielle Ausläufer und nur endlich viele gebundene Zustände.
- Gerade und ungerade Zustände eines symmetrischen Topfes erfüllen unterschiedliche transzendente Eigenwertbedingungen.
- Eine endliche Barriere besitzt auch für E < V0 eine endliche Transmission.
- Die Tunnelwahrscheinlichkeit ist exponentiell empfindlich gegenüber Breite, Masse und Barrierenhöhe.
- Auch oberhalb einer Potentialstufe kann quantenmechanische Reflexion auftreten.
- WKB verallgemeinert die Tunnelabschätzung auf räumlich veränderliche Barrieren.
- Tunneln verletzt die Energieerhaltung nicht.
- Anwendungen reichen von Rastertunnelmikroskopie und Halbleitern bis zu Kernzerfall und chemischem Transfer.
50. Häufig gestellte Fragen
Befindet sich das Teilchen wirklich innerhalb der Barriere?
Eine Ortsmessung kann das Teilchen mit endlicher Wahrscheinlichkeit im Barrierenbereich finden. Die klassische Vorstellung einer Bahn mit negativer kinetischer Energie ist dort jedoch nicht anwendbar.
Warum wird die Wellenfunktion in einer endlichen Barriere nicht null?
Die Schrödinger-Gleichung liefert für E < V exponentielle Lösungen. Nur eine unendlich hohe oder unendlich breite Barriere unterdrückt die Transmission im idealen Grenzfall vollständig.
Kann ein beliebig schweres Objekt tunneln?
Quantenmechanisch ist Tunneln nicht grundsätzlich auf leichte Teilchen beschränkt. Der Exponent wächst jedoch mit √m, sodass die Wahrscheinlichkeit für makroskopische Objekte extrem klein wird. Zusätzlich zerstört Dekohärenz makroskopische Überlagerungen sehr schnell.
Ist die Näherung T = e−2κa immer ausreichend?
Nein. Sie zeigt die dominante Exponentialabhängigkeit. Für quantitative Ergebnisse bei niedrigen, dünnen oder resonanten Barrieren muss die exakte Lösung oder eine präzisere Näherung verwendet werden.
Warum kann ein Teilchen oberhalb einer Barriere reflektiert werden?
An der Potentialgrenze ändert sich die Wellenzahl. Wie bei anderen Wellenproblemen führt diese Änderung zu einer Mischung aus reflektierter und transmittierter Welle.
Ist Tunneln instantan?
Diese Formulierung ist nicht eindeutig. Verschiedene Definitionen von Tunnel- oder Verweilzeiten liefern unterschiedliche Aussagen. Aus einer endlichen Transmission folgt keine einfache klassische Durchquerungszeit.
Warum ist Wasserstofftunneln stärker als Deuteriumtunneln?
Die Tunnelkonstante wächst mit der Quadratwurzel der Masse. Deuterium besitzt ungefähr die doppelte Masse und daher einen deutlich größeren exponentiellen Unterdrückungsfaktor.
51. Ausblick auf Teil 5
Teil 5 behandelt den quantenmechanischen harmonischen Oszillator. Das quadratische Potential V(x) = 1/2 kx² ist die zentrale Näherung für kleine Molekülschwingungen. Hergeleitet werden äquidistante Energieniveaus, Nullpunktsenergie, Hermite-Polynome, Leiteroperatoren, Knoten, Erwartungswerte und die Verbindung zur Schwingungsspektroskopie.
Literatur und weiterführende Quellen
- P. Atkins, J. de Paula & J. Keeler: Atkins’ Physical Chemistry. Oxford University Press.
- D. A. McQuarrie & J. D. Simon: Physical Chemistry: A Molecular Approach. University Science Books.
- P. W. Atkins & R. S. Friedman: Molecular Quantum Mechanics. Oxford University Press.
- D. J. Griffiths & D. F. Schroeter: Introduction to Quantum Mechanics. Cambridge University Press.
- I. N. Levine: Quantum Chemistry. Pearson.
Didaktischer Hinweis: Rechteckige Potentiale und eindimensionale WKB-Formeln sind Modellbeschreibungen. Reale Tunnelprozesse können mehrdimensionale Reaktionskoordinaten, dissipative Umgebungen, elektronische Kopplungen, Schwingungsanregungen und nichtadiabatische Effekte erfordern.
Bild- und Nutzungsnachweis: Das Titelbild und die Abbildungen 1–3 wurden eigens für diesen Blogartikel mit selbst erstelltem Programmcode erzeugt. Es wurden keine Grafiken aus Lehrbüchern oder anderen Publikationen übernommen. Die Abbildungen sind für die Verwendung in diesem monetarisierbaren Blog vorgesehen.
Keine Kommentare:
Kommentar veröffentlichen