Titelbild: Eigene Illustration des Wasserstoffatoms mit Orbitalstruktur, Coulomb-Energie und Spektralformeln.
Das Wasserstoffatom ist das wichtigste exakt lösbare dreidimensionale Quantensystem. Es besteht aus einem Proton und einem Elektron, die durch das Coulomb-Potential gebunden sind. Seine Lösung erklärt, warum atomare Energien diskret sind, weshalb Orbitale bestimmte Formen besitzen und warum Wasserstoff nur ganz bestimmte Spektrallinien absorbiert oder emittiert.
Die mathematische Lösung verbindet mehrere bereits eingeführte Konzepte. Der radiale Anteil ähnelt einem eindimensionalen gebundenen Problem mit effektivem Potential. Der Winkelanteil ist identisch mit dem starren Rotor und wird durch sphärische Harmonische beschrieben. Die Quantenzahlen n, l und m entstehen aus Randbedingungen, Normierbarkeit und Drehimpulsquantisierung.
Teil 8 behandelt die vollständige nichtrelativistische Lösung ohne Elektronenspin. Hergeleitet werden reduzierte Masse, Coulomb-Hamiltonoperator, Separation in Kugelkoordinaten, Radial- und Winkelfunktionen, Orbitale, Knoten, Energieentartung, Rydberg-Formel, Spektralserien und elektrische Dipol-Auswahlregeln.
Lernziele
- das Zweikörperproblem auf eine Relativbewegung mit reduzierter Masse zurückführen,
- den Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms formulieren,
- die Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten separieren,
- die Quantenzahlen n, l und m mit ihren Wertebereichen erklären,
- Radial- und Winkelknoten bestimmen,
- s-, p- und d-Orbitale korrekt interpretieren,
- Radialdichten und radiale Wahrscheinlichkeiten unterscheiden,
- Wasserstoffenergien und Ionisationsenergien berechnen,
- Lyman-, Balmer- und Paschen-Serie zuordnen,
- Wellenlängen atomarer Übergänge mit der Rydberg-Formel bestimmen,
- elektrische Dipol-Auswahlregeln anwenden,
- Grenzen des nichtrelativistischen Wasserstoffmodells benennen.
1. Das Wasserstoffatom als Zweikörperproblem
Das Wasserstoffatom besteht aus einem Proton der Masse mp und einem Elektron der Masse me. Beide Teilchen bewegen sich um den gemeinsamen Schwerpunkt. Die vollständige Bewegung lässt sich in:
- freie Schwerpunktsbewegung und
- relative Bewegung der beiden Teilchen
zerlegen.
Für die Relativbewegung tritt die reduzierte Masse auf:
Da mp ungefähr 1836-mal größer als me ist, liegt μ nur wenig unter der Elektronenmasse.
2. Coulomb-Potential
Elektron und Proton besitzen entgegengesetzte Ladungen. Ihre potentielle Energie ist:
r ist der Abstand der beiden Teilchen. Das negative Vorzeichen beschreibt die Anziehung. Für r → ∞ nähert sich V dem Wert null, während das Potential für kleine r stark negativ wird.
3. Hamiltonoperator
Nach Abtrennung der Schwerpunktsbewegung lautet der Hamiltonoperator der Relativbewegung:
Die stationäre Schrödinger-Gleichung ist:
Da das Potential nur von r abhängt, besitzt das System Kugelsymmetrie.
4. Kugelkoordinaten
Für ein kugelsymmetrisches Potential sind Kugelkoordinaten natürlich:
- r: Abstand vom Kern,
- θ: Polarwinkel gegen die z-Achse,
- φ: Azimutwinkel um die z-Achse.
Der Laplace-Operator lautet:
5. Separation der Wellenfunktion
Man setzt:
Nach Einsetzen und Trennung entstehen:
- eine Radialgleichung für R(r),
- eine Winkelgleichung für Y(θ,φ).
Der Winkelanteil ist die Eigenwertgleichung des quadrierten Drehimpulsoperators:
Abbildung 1. Die kugelsymmetrische Schrödinger-Gleichung zerfällt in Radial- und Winkelanteil. Aus den zulässigen Lösungen entstehen die Quantenzahlen n, l und m.
6. Hauptquantenzahl n
Die Hauptquantenzahl bestimmt im nichtrelativistischen Wasserstoffatom:
- die Energie,
- die typische räumliche Ausdehnung,
- die Gesamtzahl der Knoten n−1.
Für ein gegebenes n sind mehrere Werte von l und m möglich.
7. Bahndrehimpulsquantenzahl l
Sie bestimmt den Betrag des Bahndrehimpulses:
Die spektroskopischen Buchstaben lauten:
| l | Bezeichnung | Orbitaltyp |
|---|---|---|
| 0 | s | kugelsymmetrisch |
| 1 | p | eine angulare Knotenebene |
| 2 | d | zwei angulare Knoten |
| 3 | f | drei angulare Knoten |
8. Magnetische Quantenzahl m
Sie bestimmt die Projektion des Bahndrehimpulses auf eine gewählte z-Achse:
Für jedes l existieren 2l+1 mögliche m-Werte. Ohne äußeres Feld besitzen diese Zustände im idealen Wasserstoffatom dieselbe Energie.
9. Orbital und Bahn
Ein Orbital ist keine klassische Elektronenbahn. Es ist eine normierte räumliche Einteilchenwellenfunktion:
Das Betragsquadrat beschreibt die räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte. Orbitalbilder zeigen meist Flächen konstanter Dichte oder vereinfachte Winkelanteile. Unterschiedliche Farben kennzeichnen häufig das Vorzeichen beziehungsweise die Phase der Wellenfunktion, nicht elektrische Ladung.
10. Radialgleichung
Die Radialgleichung lautet:
Der Term:
wirkt für l > 0 wie eine abstoßende Zentrifugalbarriere und unterdrückt die Wellenfunktion in Kernnähe.
11. Reduzierte Radialfunktion
Mit:
wird die Gleichung eindimensional:
mit:
Die Bedingung u(0)=0 stellt reguläres Verhalten am Ursprung sicher.
12. Bohrscher Radius mit reduzierter Masse
Die natürliche Längenskala ist:
Für unendlich schweren Kern wird daraus der Bohrsche Radius:
Beim realen Wasserstoff ist die reduzierte Masse etwas kleiner als me, sodass aμ geringfügig größer als a0 ist.
13. Grundzustandswellenfunktion
Für n=1, l=0 und m=0:
Der Grundzustand ist kugelsymmetrisch, besitzt keine Knoten und erreicht seine größte dreidimensionale Dichte am Kern.
14. Dichte und radiale Wahrscheinlichkeit
Die lokale Wahrscheinlichkeitsdichte des 1s-Zustands ist:
Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einer Kugelschale zwischen r und r+dr zu finden, enthält zusätzlich das Volumenelement 4πr²dr:
Damit:
Die lokale Dichte ist am Kern maximal, die radiale Wahrscheinlichkeit dagegen bei:
Der Unterschied entsteht durch das wachsende Kugelschalenvolumen.
15. Erwartungswert des Radius
Für Wasserstofforbitale gilt:
Für den 1s-Zustand:
Der wahrscheinlichste Radius aμ und der Erwartungswert 3aμ/2 sind also verschiedene statistische Größen.
16. Beispiele wichtiger Radialfunktionen
Unter Verwendung der Längenskala aμ lauten einige normierte Radialfunktionen:
Die 2s-Radialfunktion wechselt bei r=2aμ ihr Vorzeichen und besitzt dort einen radialen Knoten. Die 2p-Funktion besitzt keinen radialen Knoten, verschwindet aber aufgrund des Faktors r am Kern.
17. Knotenstruktur
Für ein Wasserstofforbital gelten:
Ein Knoten ist ein Bereich, in dem die Wellenfunktion und damit die Wahrscheinlichkeitsdichte verschwindet.
| Orbital | Radialknoten | Winkelknoten | Gesamtknoten |
|---|---|---|---|
| 1s | 0 | 0 | 0 |
| 2s | 1 | 0 | 1 |
| 2p | 0 | 1 | 1 |
| 3p | 1 | 1 | 2 |
| 4d | 1 | 2 | 3 |
Abbildung 2. Die Winkelanteile bestimmen die Orbitalform, die Radialfunktionen die Abstandsverteilung. Die Gesamtzahl der Knoten beträgt n−1.
18. s-Orbitale
Für l=0 ist Y00 konstant. s-Orbitale sind deshalb kugelsymmetrisch. Sie besitzen keine Winkelknoten, können aber für n>1 radiale Knoten haben.
Nur s-Orbitale besitzen im nichtrelativistischen Modell eine endliche Wellenfunktion direkt am Kern. Diese Kerndichte ist später für Hyperfeinstruktur, Elektroneneinfang und bestimmte spektroskopische Eigenschaften wichtig.
19. p-Orbitale
Für l=1 existieren drei m-Werte: −1, 0 und +1. Die komplexen Eigenfunktionen Y1m können zu reellen Linearkombinationen px, py und pz kombiniert werden.
Jedes p-Orbital besitzt eine Knotenebene durch den Kern. Die beiden Lappen tragen entgegengesetzte Phasen. Die Farben in Orbitalbildern markieren diese Phase, nicht positive und negative Ladung.
20. d- und höhere Orbitale
Für l=2 existieren fünf d-Orbitale. Sie besitzen zwei Winkelknoten. Vier gebräuchliche reelle d-Orbitale besitzen kleeblattähnliche Formen; dz² besteht aus zwei Lappen entlang z und einem ringförmigen Bereich in der xy-Ebene.
Für l=3 entstehen sieben f-Orbitale mit drei Winkelknoten. Die Formen werden komplexer, folgen aber weiterhin denselben sphärischen Harmonischen.
21. Orbitalzahl einer Schale
Für ein festes n sind l=0 bis n−1 erlaubt. Zu jedem l gehören 2l+1 m-Werte. Die Zahl räumlicher Orbitale einer Hauptschale ist daher:
Ohne Berücksichtigung des Spins besitzt die n-te Wasserstoffschale somit n² entartete räumliche Zustände. Mit zwei möglichen Spinprojektionen können später höchstens 2n² Elektronen einer Schale zugeordnet werden.
22. Energieeigenwerte
Die gebundenen Energien lauten:
Für unendlich schweren Kern:
Für reales Wasserstoff ist die reduzierte Masse zu berücksichtigen:
Die Energie hängt im idealen nichtrelativistischen Coulomb-Problem nur von n ab, nicht von l oder m.
23. Bedeutung des negativen Vorzeichens
Der Energienullpunkt wird für vollständig getrenntes Proton und Elektron in Ruhe bei r→∞ gewählt. Gebundene Zustände besitzen E<0. Zur Ionisation muss mindestens die positive Energie:
zugeführt werden.
Aus dem Grundzustand beträgt die Ionisationsenergie ungefähr 13,598 eV beziehungsweise 1312 kJ mol−1.
24. Annäherung an die Ionisationsgrenze
Mit wachsendem n nähert sich En von unten dem Wert null. Die Niveauabstände werden immer kleiner:
Oberhalb E=0 beginnt das kontinuierliche Spektrum freier Elektronen. Die diskreten Spektrallinien einer Serie laufen deshalb an einer Seriengrenze zusammen.
25. Coulomb-Entartung
Dass die Energie nur von n abhängt, ist stärker als durch gewöhnliche Rotationssymmetrie allein erforderlich. Neben dem Drehimpuls besitzt das Coulomb-Problem eine zusätzliche Erhaltungsgröße, den quantenmechanischen Runge-Lenz-Vektor.
Diese besondere Symmetrie erklärt die Entartung verschiedener l-Werte derselben Hauptschale. Relativistische Effekte, Spin-Bahn-Kopplung, Lamb-Verschiebung und äußere Felder heben Teile dieser Entartung auf.
26. Übergänge zwischen Energieniveaus
Bei einem Übergang vom höheren Zustand n2 zum niedrigeren n1 wird ein Photon emittiert:
Bei Absorption gilt derselbe Energiebetrag mit umgekehrter Zustandsänderung.
Die Wellenzahl ist:
mit n2>n1. RH ist die Rydberg-Konstante für Wasserstoff einschließlich reduzierter Masse.
27. Rydberg-Konstante
Für unendlich schweren Kern:
Für reales Wasserstoff:
Die kleine Massendifferenz zwischen Isotopen führt zu messbaren Isotopenverschiebungen, etwa zwischen Wasserstoff und Deuterium.
28. Spektralserien
| Serie | Endniveau | Spektralbereich |
|---|---|---|
| Lyman | n1=1 | Ultraviolett |
| Balmer | n1=2 | sichtbar und nahes Ultraviolett |
| Paschen | n1=3 | Infrarot |
| Brackett | n1=4 | Infrarot |
| Pfund | n1=5 | fernes Infrarot |
Abbildung 3. Die Energien folgen dem Gesetz −1/n². Übergänge zu einem festen Endniveau bilden Spektralserien mit charakteristischen Seriengrenzen.
29. Lyman-α-Linie
Der Übergang n=2→1 ist die Lyman-α-Linie:
Sie liegt im Ultraviolett und ist in der Astrophysik besonders wichtig.
30. Balmer-α-Linie
Der Übergang n=3→2 heißt Hα:
Diese rote Linie ist eine der bekanntesten sichtbaren Wasserstofflinien.
31. Seriengrenze
Für n2→∞ erhält man die Seriengrenze:
Die Lyman-Grenze entspricht der Ionisation aus n=1, die Balmer-Grenze der Ionisation aus n=2.
32. Elektrische Dipol-Auswahlregeln
Nicht jeder energetisch mögliche Übergang besitzt eine elektrische Dipolintensität. Für Wasserstoff ohne Spin lauten die wichtigsten Auswahlregeln:
Für Δn gibt es keine allgemeine Beschränkung. Übergänge mit Δl=0 sind im elektrischen Dipolmodell verboten, können aber über schwächere Mechanismen auftreten.
33. Ursprung der Auswahlregeln
Die Übergangsamplitude enthält ein Matrixelement des Dipoloperators:
Die Winkelintegration aus sphärischen Harmonischen und dem Vektoroperator r̂ verschwindet, wenn die Drehimpulsbedingungen nicht erfüllt sind. Auswahlregeln sind daher Symmetrieaussagen über Matrixelemente.
34. Lebensdauer und Linienbreite
Angeregte Zustände besitzen endliche Lebensdauern. Dadurch entsteht eine natürliche Linienbreite:
Zusätzliche Verbreiterungsmechanismen sind:
- Dopplerverbreiterung,
- Stoß- oder Druckverbreiterung,
- Instrumentenbreite,
- Stark- und Zeeman-Aufspaltung.
35. Zeeman- und Stark-Effekt
Ein äußeres Magnetfeld koppelt an den magnetischen Bahndrehimpuls und spaltet m-Zustände auf. Ein elektrisches Feld verändert Energien durch den Stark-Effekt.
Diese Effekte zeigen experimentell, dass die scheinbar entarteten Zustände unterschiedliche räumliche und magnetische Eigenschaften besitzen.
36. Bohrsches Modell und Quantenmechanik
Das Bohrsche Modell reproduziert die Wasserstoffenergien durch quantisierte Kreisbahnen. Die moderne Quantenmechanik benötigt keine Elektronenbahn. Die gleiche 1/n²-Energie folgt aus Schrödinger-Gleichung, Normierbarkeit und Randbedingungen.
| Bohrsches Modell | Quantenmechanische Beschreibung |
|---|---|
| bestimmte Kreisbahn | räumliche Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte |
| Drehimpuls L=nℏ | L²=ℏ²l(l+1), Lz=mℏ |
| eine Quantenzahl n | Quantenzahlen n, l und m |
| erklärt Energien grob | erklärt Energien, Orbitale, Knoten und Auswahlregeln |
37. Wasserstoffähnliche Ionen
Ein wasserstoffähnliches Ion besitzt nur ein Elektron und Kernladung +Ze. Beispiele sind He+, Li2+ und Be3+.
Das Potential lautet:
Die Energien skalieren näherungsweise als:
Die typische Orbitallänge skaliert als a0/Z. Höhere Kernladung bindet das Elektron stärker und zieht die Orbitale zusammen.
38. Grenzen des einfachen Wasserstoffmodells
Die bisherige Lösung vernachlässigt:
- Elektronenspin,
- relativistische Korrekturen,
- Spin-Bahn-Kopplung,
- QED-Effekte wie die Lamb-Verschiebung,
- Hyperfeinstruktur durch Kernspin,
- endliche Kerngröße,
- äußere Felder.
Für grundlegende Orbitale und Spektralserien ist das nichtrelativistische Modell dennoch außerordentlich erfolgreich.
39. Übergang zu Mehrelektronenatomen
Bei mehreren Elektronen kommt die gegenseitige Coulomb-Abstoßung hinzu:
Dadurch ist die Schrödinger-Gleichung nicht mehr exakt separierbar. Die Energie hängt nicht mehr nur von n ab. Abschirmung, Penetration, Austausch, Spin und Pauli-Prinzip bestimmen den Aufbau der Elektronenschalen.
40. Typische Fehler
| Fehler | Korrektur |
|---|---|
| Orbital als Elektronenbahn zeichnen | Ein Orbital ist eine Wellenfunktion beziehungsweise räumliche Wahrscheinlichkeitsamplitude. |
| |R(r)|² als radiale Wahrscheinlichkeit verwenden | Die radiale Wahrscheinlichkeit enthält den Faktor r²; bei voller Dichte zusätzlich 4π für s-Zustände. |
| n, l und m unabhängig wählen | Es gilt l=0,…,n−1 und m=−l,…,+l. |
| l mit dem Betrag L/ℏ gleichsetzen | |L|=ℏ√[l(l+1)]. |
| Farben der Orbitallappen als Ladungen deuten | Sie markieren meist entgegengesetzte Phasen der Wellenfunktion. |
| maximale 1s-Dichte und wahrscheinlichsten Radius verwechseln | Die Dichte ist bei r=0 maximal, die radiale Wahrscheinlichkeit bei r=aμ. |
| Gesamtknoten nur mit l gleichsetzen | Gesamtknoten=n−1; Winkelknoten=l; Radialknoten=n−l−1. |
| jede Energiedifferenz als starke Spektrallinie erwarten | Das Übergangsmatrixelement und Auswahlregeln bestimmen die Intensität. |
| R∞ und RH exakt gleichsetzen | Die reduzierte Masse erzeugt eine kleine, messbare Korrektur. |
| Wasserstofforbitale unverändert auf Mehrelektronenatome übertragen | Elektronenabstoßung hebt die reine n-Entartung auf und verändert Radialfunktionen. |
41. Übungsaufgaben
Aufgabe 1: Zulässige Quantenzahlen und Orbitalzahl
Liste für n=4 alle erlaubten l-Werte und die jeweils möglichen m-Werte auf. Wie viele räumliche Orbitale besitzt die n=4-Schale insgesamt?
Aufgabe 2: Knoten
Bestimme für die Orbitale 2s, 3p und 4d jeweils die Zahl der Radialknoten, Winkelknoten und Gesamtknoten.
Aufgabe 3: Radien des 1s-Zustands
Verwende aμ=5,29465×10−11 m. Bestimme den wahrscheinlichsten Radius und den Erwartungswert ⟨r⟩ des 1s-Zustands in Pikometern.
Aufgabe 4: Wahrscheinlichkeit innerhalb des Bohr-Radius
Für den 1s-Zustand gilt P(r)=4r²/aμ³·e−2r/aμ. Berechne die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Bereich 0≤r≤aμ zu finden.
Aufgabe 5: Bahndrehimpuls
Ein Wasserstoffzustand besitzt l=2 und m=−1. Berechne den Betrag des Bahndrehimpulses und seine z-Komponente.
Aufgabe 6: Energien und Ionisation
Verwende En=−13,5983 eV/n². Bestimme E1, E2 und E3. Wie viel Energie ist zur Ionisation aus n=2 erforderlich?
Aufgabe 7: Lyman-α
Berechne mit RH=1,096776×107 m−1 die Wellenlänge und Photonenergie des Übergangs n=2→1.
Aufgabe 8: Balmer-Linien
Berechne die Wellenlängen der Übergänge n=3→2 und n=4→2. Ordne beide Linien farblich beziehungsweise spektral ein.
Aufgabe 9: Auswahlregeln
Entscheide für die folgenden Übergänge, ob sie als elektrische Dipolübergänge nach Δl=±1 erlaubt sind: 2s→1s, 2p→1s, 3d→2p, 3d→1s und 3p→1s.
Aufgabe 10: Wasserstoffähnliches He+
Für ein wasserstoffähnliches Ion gilt näherungsweise En=−13,6Z²/n² eV. Berechne für He+ mit Z=2 die Energie des Zustands n=3 und die Wellenlänge des Übergangs n=3→2. Vernachlässige die kleine Änderung der reduzierten Masse.
42. Vollständige Lösungen
Für n=4 gilt l=0,1,2,3.
| l | Unterschale | m-Werte | Zahl der Orbitale |
|---|---|---|---|
| 0 | 4s | 0 | 1 |
| 1 | 4p | −1,0,+1 | 3 |
| 2 | 4d | −2,−1,0,+1,+2 | 5 |
| 3 | 4f | −3,−2,−1,0,+1,+2,+3 | 7 |
Die n=4-Schale besitzt 16 räumliche Orbitale.
Es gelten Radialknoten=n−l−1, Winkelknoten=l und Gesamtknoten=n−1.
| Orbital | n | l | Radial | Angular | Gesamt |
|---|---|---|---|---|---|
| 2s | 2 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 3p | 3 | 1 | 1 | 1 | 2 |
| 4d | 4 | 2 | 1 | 2 | 3 |
Der wahrscheinlichste Radius des 1s-Zustands ist:
Der Erwartungswert lautet:
Der Erwartungswert ist größer als der wahrscheinlichste Einzelradius, weil die Verteilung einen langen Ausläufer zu größeren Abständen besitzt.
Mit x=r/aμ wird:
Das Integral ergibt:
Die Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 32,33 Prozent.
Die z-Komponente ist:
Der Betrag ist größer als der maximale Betrag einer einzelnen Projektion lℏ.
Zur Ionisation aus n=2 muss das Elektron auf E=0 gebracht werden:
Die Photonenergie ist:
Die Linie liegt im Ultraviolett.
Für n=3→2:
Dies ist Hα im roten sichtbaren Bereich.
Für n=4→2:
Dies ist Hβ im blaugrünen beziehungsweise cyanfarbenen sichtbaren Bereich.
| Übergang | Δl | Elektrischer Dipolübergang |
|---|---|---|
| 2s→1s | 0 | verboten |
| 2p→1s | −1 | erlaubt |
| 3d→2p | −1 | erlaubt |
| 3d→1s | −2 | verboten |
| 3p→1s | −1 | erlaubt |
Zusätzlich muss für eine konkrete m-Komponente Δm=0 oder ±1 gelten.
Für He+ ist Z=2:
Die Übergangsenergien skalieren gegenüber Wasserstoff mit Z²=4. Daher ist die Wellenlänge für denselben Übergang viermal kleiner:
Die Linie liegt im Ultraviolett.
43. Zusammenfassung
- Das Wasserstoffatom wird nach Abtrennung des Schwerpunkts durch eine Relativbewegung mit reduzierter Masse beschrieben.
- Das Coulomb-Potential lautet −e²/(4πε0r).
- Die Wellenfunktion separiert in Rnl(r)Ylm(θ,φ).
- Die Hauptquantenzahl n bestimmt die Energie und Gesamtzahl der Knoten.
- Die Bahndrehimpulsquantenzahl l bestimmt Orbitaltyp und Winkelknoten.
- Die magnetische Quantenzahl m bestimmt die Projektion Lz=mℏ.
- Ein Orbital ist eine Wellenfunktion, keine klassische Elektronenbahn.
- Radiale Wahrscheinlichkeit enthält den Volumenfaktor r².
- Die Knotenzahlen lauten radial n−l−1, angular l und insgesamt n−1.
- Die gebundenen Energien folgen En∝−1/n².
- Im idealen Coulomb-Problem hängt die Energie nur von n ab.
- Übergänge erzeugen die Lyman-, Balmer-, Paschen- und weitere Serien.
- Die Rydberg-Formel berechnet die Wellenlängen der Spektrallinien.
- Elektrische Dipolübergänge erfüllen Δl=±1 und Δm=0,±1.
- Relativistische, Spin- und QED-Effekte erzeugen zusätzliche Feinstrukturen.
44. Häufig gestellte Fragen
Wo befindet sich das Elektron im Wasserstoffatom?
Vor einer Ortsmessung besitzt es im stationären Zustand keine klassische feste Position oder Bahn. Die Wellenfunktion liefert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung möglicher Messergebnisse.
Warum ist die 1s-Dichte am Kern maximal?
Das Coulomb-Potential zieht das Elektron an, und für l=0 existiert keine Zentrifugalbarriere. Die radiale Kugelschalenwahrscheinlichkeit ist am Kern dennoch null, weil das Schalenvolumen mit r² verschwindet.
Warum besitzen p-Orbitale zwei verschiedenfarbige Lappen?
Die Farben kennzeichnen entgegengesetzte Vorzeichen beziehungsweise Phasen der Wellenfunktion. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist in beiden Lappen positiv.
Warum hängt die Wasserstoffenergie nicht von l ab?
Das reine 1/r-Coulomb-Potential besitzt eine zusätzliche dynamische Symmetrie. In realen Atomen und bei relativistischen Korrekturen wird diese Entartung teilweise aufgehoben.
Ist ein verbotener Übergang unmöglich?
„Verboten“ bedeutet meist, dass das elektrische Dipolmatrixelement verschwindet. Schwächere magnetische Dipol-, elektrische Quadrupol- oder Mehrphotonenprozesse können dennoch auftreten.
Warum unterscheiden sich RH und R∞?
Der Kern ist nicht unendlich schwer. Elektron und Proton bewegen sich um den Schwerpunkt, sodass die reduzierte Masse die Energie- und Wellenlängenskala geringfügig verändert.
Kann man Wasserstofforbitale direkt für alle Atome verwenden?
Sie bilden eine wichtige Grundlage und dienen als Basisfunktionen. In Mehrelektronenatomen verändern Elektronenabstoßung, Abschirmung und Austausch jedoch Energien und Radialformen.
Warum ist die Ionisationsgrenze bei E=0?
Der Energienullpunkt wird für unendlich getrenntes Proton und Elektron ohne relative kinetische Energie gewählt. Gebundene Zustände liegen darunter.
45. Ausblick auf Teil 9
Teil 9 behandelt Mehrelektronenatome. Im Mittelpunkt stehen Elektronenspin, Stern-Gerlach-Experiment, Pauli-Prinzip, Slater-Determinanten, Abschirmung, Penetration, effektive Kernladung, Hundsche Regeln und der quantenmechanische Aufbau des Periodensystems.
Literatur und weiterführende Quellen
- P. Atkins, J. de Paula & J. Keeler: Atkins’ Physical Chemistry. Oxford University Press.
- D. A. McQuarrie & J. D. Simon: Physical Chemistry: A Molecular Approach. University Science Books.
- P. W. Atkins & R. S. Friedman: Molecular Quantum Mechanics. Oxford University Press.
- D. J. Griffiths & D. F. Schroeter: Introduction to Quantum Mechanics. Cambridge University Press.
- I. N. Levine: Quantum Chemistry. Pearson.
Didaktischer Hinweis: Der Artikel behandelt das nichtrelativistische Ein-Elektronen-Coulombproblem ohne Spin. Reale Spektren enthalten Feinstruktur, Lamb-Verschiebung, Hyperfeinstruktur, Isotopenverschiebung und Feldaufspaltungen. Diese Korrekturen ändern nicht die grundlegende Orbital- und Quantenzahlstruktur.
Bild- und Nutzungsnachweis: Das Titelbild und die Abbildungen 1–3 wurden eigens für diesen Blogartikel mit selbst erstelltem Programmcode erzeugt. Es wurden keine Grafiken aus Lehrbüchern oder anderen Publikationen übernommen. Die Abbildungen sind für die Verwendung in diesem monetarisierbaren Blog vorgesehen.
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