Optische Eigenschaften von Festkörpern – Fresnel-Gleichungen, Absorption, Exzitonen, Lumineszenz und Plasmonen

Titelbild: Eigene Illustration einer elektromagnetischen Welle an einer Grenzfläche, eines Elektron-Loch-Paars und kollektiver Oberflächenladungen.

Optische Spektren sind Fingerabdrücke der elektronischen und strukturellen Eigenschaften eines Festkörpers. Reflexion, Transmission, Absorption und Emission zeigen, wie Photonen mit freien Ladungsträgern, Energiebändern, Exzitonen, Phononen und Defekten wechselwirken.

Bereits die scheinbar einfache Frage, warum ein Material transparent, farbig oder metallisch glänzend ist, führt zu grundlegenden Größen:

• komplexer Brechungsindex,
• komplexe Permittivität,
• Fresnel-Koeffizienten,
• Absorptionskoeffizient,
• Bandlücke und Übergangsmatrixelemente,
• Exzitonenbindungsenergie,
• strahlende und nichtstrahlende Relaxation,
• Plasmafrequenz und kollektive Elektronenbewegung.

Optische Methoden sind besonders leistungsfähig, weil sie häufig kontaktlos arbeiten, sehr kleine Proben untersuchen und Zeitbereiche von statischer Antwort bis zu Femtosekundenprozessen abdecken können.

Einordnung: Teil 6 und 7 entwickelten Bandstruktur, Bandlücken und Halbleiterstatistik. Teil 10 behandelte komplexe dielektrische Antwort und Gitterschwingungen. Teil 11 verbindet diese Grundlagen mit Lichtausbreitung, Absorption, Lumineszenz und Plasmonik. Teil 12 wird anschließend Supraleitung, Cooper-Paare, Meissner-Effekt, Josephson-Kopplung und Typ-I-/Typ-II-Supraleiter behandeln.

Lernziele

Nach diesem Beitrag kannst du:

• komplexen Brechungsindex und komplexe Permittivität verknüpfen,
• Reflexion und Transmission an Grenzflächen berechnen,
• Absorptionskoeffizient und Eindringtiefe bestimmen,
• Fresnel-Gleichungen für s- und p-Polarisation einordnen,
• Brewster-Winkel und Totalreflexion erklären,
• Drude-Optik von Metallen und Plasmafrequenz berechnen,
• Interbandübergänge und gemeinsame Zustandsdichte interpretieren,
• direkte und indirekte Absorptionskanten unterscheiden,
• Tauc-Auswertungen kritisch anwenden,
• Wannier–Mott- und Frenkel-Exzitonen vergleichen,
• Exzitonenbindungsenergie und Bohr-Radius abschätzen,
• Photolumineszenz, Quantenausbeute und Lebensdauer berechnen,
• Defekt- und Farbzentren einordnen,
• Volumen- und Oberflächenplasmonen unterscheiden,
• geeignete optische Messmethoden auswählen.

1. Elektromagnetische Welle im Festkörper

Eine monochromatische ebene Welle kann als:

E(z,t)=E₀exp[i(kz−ωt)]

geschrieben werden. In einem verlustfreien Medium gilt k=nω/c. In einem absorbierenden Medium wird k komplex.

2. Komplexer Brechungsindex

ñ=n+iκ

n bestimmt die Phasengeschwindigkeit und Brechung. κ ist der Extinktionskoeffizient und beschreibt die exponentielle Dämpfung der Welle.

Je nach verwendeter Zeitkonvention kann das Vorzeichen vor iκ anders geschrieben werden. Physikalisch muss die Welle im absorbierenden Medium mit zunehmender Tiefe abnehmen.

3. Komplexe Permittivität

ε*(ω)=ε₁(ω)+iε₂(ω)

Für ein nichtmagnetisches isotropes Medium mit μ_r≈1 gilt:

ñ²=ε*

Daraus folgen:

ε₁=n²−κ²

ε₂=2nκ

ε₁ beschreibt den dispersiven Anteil, ε₂ die Absorption. Beide sind durch Kramers–Kronig-Beziehungen miteinander gekoppelt.

4. Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

v_ph=c/n

In dispersiven Medien hängt n von ω ab. Für ein schmales Wellenpaket ist:

v_g=dω/dk=c/[n+ω(dn/dω)]

Die Gruppengeschwindigkeit beschreibt die Bewegung der Wellenpakethülle. Sie darf in stark absorbierenden Bereichen nicht unkritisch mit Energie- oder Informationsgeschwindigkeit gleichgesetzt werden.

5. Reflexion bei senkrechtem Einfall

Für Licht aus Vakuum auf ein Medium mit ñ=n+iκ lautet der Amplitudenkoeffizient:

r=(1−ñ)/(1+ñ)

Die Reflektivität ist:

R=|r|²=[(n−1)²+κ²]/[(n+1)²+κ²]

Auch ein transparentes Material mit κ≈0 reflektiert, wenn n von 1 abweicht.

6. Transmission und Absorption

Für eine endliche Probe gilt die Energiebilanz:

R+T+A=1

Mehrfachreflexionen an Vorder- und Rückseite können T und R deutlich beeinflussen. Dünne Filme zeigen zusätzlich Interferenz.

7. Absorptionskoeffizient

Aus dem komplexen Wellenvektor folgt:

α=2ωκ/c=4πκ/λ₀

λ₀ ist die Vakuumwellenlänge. Die Intensität nimmt nach Beer–Lambert ab:

I(z)=I₀exp(−αz)

8. Optische Eindringtiefe

δ_opt=1/α

Nach dieser Tiefe ist die Intensität auf 1/e gefallen. In stark absorbierenden Materialien kann δ_opt nur wenige Nanometer betragen; in transparenten Kristallen viele Zentimeter.

9. Fresnel-Gleichungen bei schrägem Einfall

Die Polarisation wird in s- und p-Komponente zerlegt:

• s-Polarisation: E senkrecht zur Einfallsebene,
• p-Polarisation: E parallel zur Einfallsebene.

Für transparente Medien lauten die Reflexionsamplituden:

r_s=(n₁cosθ₁−n₂cosθ₂)/(n₁cosθ₁+n₂cosθ₂)

r_p=(n₂cosθ₁−n₁cosθ₂)/(n₂cosθ₁+n₁cosθ₂)

10. Snelliussches Brechungsgesetz

n₁sinθ₁=n₂sinθ₂

In anisotropen Kristallen ist die Situation komplexer, weil Ausbreitungsrichtung, Wellenvektor und Energiefluss nicht zwingend parallel sind.

11. Brewster-Winkel

Für transparente nichtmagnetische Medien verschwindet die p-reflektierte Komponente bei:

tanθ_B=n₂/n₁

Der reflektierte Strahl ist dann rein s-polarisiert. Absorption verhindert meist ein exakt verschwindendes Minimum.

12. Totalreflexion

Für n₁>n₂ tritt oberhalb des kritischen Winkels:

sinθ_c=n₂/n₁

Totalreflexion auf. Im zweiten Medium existiert dennoch ein exponentiell abklingendes evaneszentes Feld.

13. Dünnschichtinterferenz

Reflexionen an mehreren Grenzflächen überlagern sich. Die optische Phasendicke ist:

φ=2πnd cosθ/λ₀

Interferenz erlaubt Antireflexschichten, Spiegel, Filter und die Bestimmung von Schichtdicken.

14. Ellipsometrie

Ellipsometrie misst das komplexe Verhältnis der Reflexionskoeffizienten:

ρ=r_p/r_s=tanΨ exp(iΔ)

Aus Ψ und Δ werden mit einem Schichtmodell n, κ und Dicke bestimmt. Die Auswertung ist indirekt und hängt von der Eindeutigkeit des Modells ab.

Abbildung 1. Der Realteil n steuert Phase und Brechung, κ die Dämpfung. Die Fresnel-Koeffizienten verbinden beide Größen mit Reflexion und Transmission.

15. Optische Leitfähigkeit

Die komplexe Leitfähigkeit und Permittivität sind verknüpft:

σ*(ω)=−iωε₀[ε*(ω)−1]

Mit einer anderen Zeitkonvention ändert sich das Vorzeichen der imaginären Anteile. Der dissipative Realteil σ₁ steht in direktem Zusammenhang mit ε₂.

16. Summenregel

Die integrierte optische Leitfähigkeit ist durch Ladungsträgerdichte und Masse begrenzt:

∫₀^∞σ₁(ω)dω=πne²/(2m)

Wechselwirkungen können Spektralgewicht zwischen Drude-Peak, Interbandübergängen und kollektiven Moden verschieben, aber die Gesamtbilanz bleibt erhalten.

17. Drude-Optik freier Ladungsträger

Für freie Elektronen mit Dämpfungsrate γ=1/τ lautet die Drude-Permittivität:

ε(ω)=ε_∞−ω_p²/(ω²+iγω)

ε_∞ fasst höherenergetische gebundene Beiträge zusammen. Die Plasmafrequenz ist:

ω_p=√[ne²/(ε₀m*)]

Unterhalb der abgeschirmten Plasmafrequenz ist ε₁ häufig negativ. Elektromagnetische Wellen können dann nicht als gewöhnliche propagierende Wellen in das Material eindringen; Metalle reflektieren stark.

18. Plasma- und Reflexionskante

Die abgeschirmte Plasmakante liegt ungefähr bei:

ω_p,eff=ω_p/√ε_∞

Unterhalb dieser Frequenz ist das Material metallisch reflektierend, oberhalb kann die Reflexion stark abfallen. Deshalb können manche Metalle in bestimmten Spektralbereichen transparent oder farbig erscheinen.

19. Hauttiefe

In einem guten Leiter bei niedriger Frequenz:

δ_skin=√[2/(μσω)]

Das Feld dringt nur bis zur Hauttiefe ein. Sie nimmt mit Frequenz und Leitfähigkeit ab und ist für Hochfrequenzverluste, Abschirmung und Mikrowellenbauelemente wichtig.

20. Interbandübergänge

Ein Photon kann ein Elektron aus einem besetzten in einen unbesetzten Bandzustand anregen. Da der Photonenimpuls im Vergleich zur Größe der Brillouin-Zone klein ist, sind optische Übergänge im k-Raum näherungsweise vertikal:

k_f≈k_i

Die Absorptionsstärke hängt nicht nur von vorhandenen Zuständen, sondern auch vom Dipolmatrixelement ab.

21. Fermi-Goldene-Regel

W_i→f=(2π/ℏ)|⟨f|H′|i⟩|²δ(E_f−E_i−ℏω)

Die Deltafunktion erzwingt Energieerhaltung. Symmetrie und Polarisation bestimmen, ob das Matrixelement verschwindet oder endlich ist.

22. Gemeinsame Zustandsdichte

Die joint density of states zählt Paare besetzter und unbesetzter Zustände mit Energiedifferenz ℏω:

J(ℏω)=Σ_v,c,kδ[E_c(k)−E_v(k)−ℏω]

Kritische Punkte der Bandstruktur erzeugen markante optische Strukturen und Van-Hove-Singularitäten.

23. Direkte erlaubte Absorptionskante

Für parabolische Bänder und ein näherungsweise konstantes erlaubtes Matrixelement gilt nahe einer direkten Bandkante:

αℏω∝(ℏω−E_g)^1/2

Ein Diagramm von (αℏω)² gegen ℏω wird daher häufig linear extrapoliert.

24. Indirekte Absorptionskante

Bei indirekten Halbleitern muss zusätzlich ein Phonon aufgenommen oder emittiert werden:

α∝(ℏω−E_g±ℏΩ)²

Die Kante ist schwächer und temperaturabhängiger als bei einem direkten Übergang.

25. Tauc-Darstellung

Eine verbreitete empirische Beziehung lautet:

(αℏω)^r∝ℏω−E_g

Der Exponent hängt von Übergangsart und Konvention ab. Tauc-Plots dürfen nicht mechanisch auf jedes Spektrum angewendet werden. Exzitonen, Urbach-Schwänze, Defekte, Interferenz und falsche Probendicke können die Extrapolation verfälschen.

26. Urbach-Schwanz

Unordnung und Gitterschwingungen erzeugen unterhalb der idealen Bandkante einen exponentiellen Absorptionsschwanz:

α(E)=α₀exp[(E−E₀)/E_U]

E_U ist die Urbach-Energie. Sie misst nicht einfach einen einzelnen Defekttyp, sondern eine Kombination aus statischer und dynamischer Unordnung.

27. Exzitonen

Nach einer Bandanregung ziehen sich Elektron und Loch coulombisch an. Ihr gebundener Zustand heißt Exziton. Seine Energie liegt um die Bindungsenergie E_B unterhalb der freien Bandkante:

E_X=E_g−E_B

28. Wannier–Mott-Exziton

In Halbleitern mit großer dielektrischer Abschirmung und kleinen effektiven Massen ist das Exziton über viele Gitterzellen ausgedehnt. Im wasserstoffähnlichen Modell:

E_B=13,6 eV·(μ/m_e)/ε_r²

a_X=a₀ε_r(m_e/μ)

μ ist die reduzierte Elektron-Loch-Masse.

29. Frenkel-Exziton

In Molekülkristallen und stark ionischen Materialien kann das Elektron-Loch-Paar auf einer oder wenigen Gittereinheiten lokalisiert sein. Frenkel-Exzitonen besitzen kleinere Radien und häufig größere Bindungsenergien.

30. Exzitonenserie

Das ideale Wannier-Modell besitzt wasserstoffähnliche Energien:

E_n=E_g−E_B/n²

Die Serie konvergiert gegen die freie Bandkante. In realen Kristallen verändern Bandanisotropie, Austausch und nichtlokale Abschirmung das Spektrum.

31. Exzitonen-Mott-Übergang

Bei hoher Trägerdichte überlappen Exzitonen und werden durch freie Ladungsträger abgeschirmt. Oberhalb einer kritischen Dichte kann der gebundene Zustand verschwinden und ein Elektron-Loch-Plasma entstehen.

32. Direkte und indirekte Übergänge

Bei einer direkten Bandlücke liegen Valenzbandmaximum und Leitungsbandminimum am selben k-Punkt. Photonen können effizient absorbiert und emittiert werden.

Bei indirekter Lücke ist zusätzlich ein Phonon erforderlich. Deshalb sind dünne direkte Halbleiter oft starke Lichtemitter, während indirekte Materialien größere Absorptionswege benötigen.

Abbildung 2. Direkte Übergänge benötigen näherungsweise nur ein Photon, indirekte zusätzlich ein Phonon. Coulomb-Anziehung bindet Elektron und Loch; Gitterrelaxation erzeugt häufig eine Stokes-Verschiebung zwischen Absorption und Emission.

33. Photolumineszenz

Bei der Photolumineszenz erzeugt Licht angeregte Zustände, die anschließend Photonen emittieren. Ein vereinfachter Ablauf ist:

1. Absorption,
2. Thermalisierung innerhalb eines Bandes,
3. Diffusion oder Einfang an Defekten,
4. strahlende oder nichtstrahlende Rekombination.

34. Strahlende und nichtstrahlende Rate

k_ges=k_r+k_nr

Die Lebensdauer ist:

τ=1/(k_r+k_nr)

Die interne Photolumineszenz-Quantenausbeute lautet:

η_PL=k_r/(k_r+k_nr)

35. Zeitaufgelöste Lumineszenz

Für einen einzelnen exponentiellen Zerfall:

I(t)=I₀exp(−t/τ)

Mehrere Exponentialkomponenten oder nicht exponentielle Verläufe weisen auf verschiedene Zentren, Energietransfer, Diffusion oder eine Verteilung von Umgebungen hin.

36. Stokes-Verschiebung

Nach der Absorption relaxiert die Gitter- oder Molekülkonfiguration. Die Emission erfolgt dadurch bei geringerer Energie als die Absorption. Die Differenz heißt Stokes-Verschiebung.

Eine große Stokes-Verschiebung vermindert Selbstabsorption, kann aber auch starke Elektron-Phonon-Kopplung und breite Spektren anzeigen.

37. Franck–Condon-Prinzip

Elektronische Übergänge sind viel schneller als Kernbewegungen. Im Konfigurationskoordinatendiagramm erscheinen Absorption und Emission daher näherungsweise vertikal.

Vibronische Seitenbänder spiegeln die Kopplung an Phononen wider.

38. Defektlumineszenz

Defekte können lokalisierte Zustände in der Bandlücke bilden. Sie wirken als:

• strahlende Rekombinationszentren,
• nichtstrahlende Fallen,
• Ladungsspeicher,
• Energietransferzentren.

Die Wirkung hängt von Ladungszustand, lokaler Struktur und konkurrierenden Einfangraten ab.

39. Farbzentren

Ein klassisches F-Zentrum ist eine Anionenleerstelle, die ein oder mehrere Elektronen bindet. Optische Übergänge dieses lokalisierten Elektrons erzeugen Absorptionsbanden und Farbe.

40. Seltene-Erden-Lumineszenz

4f-4f-Übergänge sind durch äußere Elektronenschalen abgeschirmt und daher relativ schmal. Ihre Auswahlregeln sind teilweise verboten, wodurch lange Lebensdauern entstehen können.

Liganden oder Wirtsgitter können als Antennen wirken und Energie auf das seltene Erdion übertragen.

41. Übergangsmetallionen

d-d-Übergänge werden stark durch Kristallfeld, Kovalenz und Jahn-Teller-Verzerrungen beeinflusst. Sie sind häufig breiter als 4f-Übergänge und können starke Temperaturabhängigkeit zeigen.

42. Konzentrationslöschung

Bei hoher Konzentration lumineszierender Zentren kann Energie zwischen ihnen wandern und nichtstrahlende Quencher erreichen. Die Emissionsausbeute sinkt trotz mehr aktiver Ionen.

43. Thermische Löschung

Mit steigender Temperatur können nichtstrahlende Kanäle aktiviert werden:

k_nr(T)=k₀exp(−E_a/k_BT)

Die Lumineszenzintensität nimmt ab und die Lebensdauer verkürzt sich.

44. Elektrolumineszenz

Bei LEDs und Laserdioden werden Elektronen und Löcher elektrisch injiziert. Ihre Rekombination erzeugt Licht. Heterostrukturen und Quantentöpfe erhöhen die räumliche Überlappung und den Einschluss der Ladungsträger.

45. Absorption, spontane und stimulierte Emission

Ein Photon kann einen Übergang nach oben anregen. Ein angeregter Zustand kann spontan emittieren oder durch ein Photon gleicher Energie zur stimulierten Emission veranlasst werden.

Optische Verstärkung erfordert Besetzungsinversion relativ zu den beteiligten Zuständen.

46. Volumenplasmon

Ein Plasmon ist eine kollektive Schwingung der Elektronendichte. Im langwelligen freien Elektronengas besitzt das Volumenplasmon näherungsweise die Energie:

E_p=ℏω_p

Volumenplasmonen werden besonders gut mit Elektronenenergieverlustspektroskopie beobachtet.

47. Oberflächenplasmon-Polariton

An einer Grenzfläche zwischen einem Material mit ε₁<0 und einem Dielektrikum mit ε₂>0 kann eine gekoppelte elektromagnetische Oberflächenmode existieren:

k_SPP=ω/c·√[ε₁ε₂/(ε₁+ε₂)]

Ihr Wellenvektor ist größer als der eines freien Photons gleicher Frequenz. Daher ist ein Prisma, Gitter oder Nahfeld zur Impulsanpassung nötig.

48. Lokalisierte Oberflächenplasmonen

In Metallnanopartikeln schwingt die Elektronenwolke kollektiv gegen den positiven Hintergrund. Für eine kleine Kugel im quasistatischen Grenzfall liegt die Resonanz ungefähr bei:

Re[ε_Metall(ω)]=−2ε_Umgebung

Form, Größe, Umgebung und Dämpfung bestimmen Resonanzfrequenz und Linienbreite.

49. Plasmonische Feldverstärkung

Nahe einer Resonanz können lokale elektrische Felder stark erhöht sein. Anwendungen sind:

• oberflächenverstärkte Raman-Spektroskopie,
• Brechungsindexsensorik,
• Photokatalyse,
• lokale Erwärmung,
• Lichtkonzentration in Nanostrukturen.

50. Phonon-Polaritonen

In polaren Kristallen koppeln Infrarotphotonen an transversale optische Phononen. Zwischen TO- und LO-Frequenz kann ε₁<0 sein. Dieser Reststrahlenbereich zeigt hohe Reflexion.

51. Exziton-Polaritonen

Starke Kopplung eines Photons mit einer Exzitonenresonanz erzeugt gemischte Licht-Materie-Zustände mit oberem und unterem Polaritonenzweig.

In Mikroresonatoren können sehr kleine effektive Massen und nichtlineare kollektive Phänomene auftreten.

52. Optische Anisotropie

In anisotropen Kristallen ist ε ein Tensor. Es entstehen ordentliche und außerordentliche Wellen, Doppelbrechung und polarisationsabhängige Absorption.

Die Indexellipsoid-Darstellung verknüpft Kristallsymmetrie und Brechungsindizes.

53. Nichtlineare Optik

Bei starken Feldern wird die Polarisation erweitert:

P=ε₀[χ⁽¹⁾E+χ⁽²⁾E²+χ⁽³⁾E³+...]

χ⁽²⁾ erzeugt Frequenzverdopplung, Summen- und Differenzfrequenzen. In zentrosymmetrischen Medien verschwindet χ⁽²⁾ im elektrischen Dipolnäherungsfall.

54. Raman-Spektroskopie

Beim Raman-Prozess wird ein Photon inelastisch an einer Gitterschwingung gestreut. Die Frequenzdifferenz entspricht einer Phononenenergie.

Raman-Auswahlregeln hängen von der Änderung der Polarisierbarkeit ab; Infrarotaktivität dagegen von einer Änderung des Dipolmoments.

55. Optische Messmethoden

Methode	Primäre Information	Wichtige Einschränkung
Transmission/Absorption	α, Bandkante, Defekte	Dicke und Reflexionsverluste müssen bekannt sein
Reflexionsspektroskopie	optische Konstanten, Plasma- und Phononkanten	Phaseninformation fehlt ohne Modell oder Kramers–Kronig
Ellipsometrie	n, κ und Schichtdicke	modellabhängige Inversion
Photolumineszenz	strahlende Zustände, Defekte, Rekombination	nichtstrahlende Zustände können unsichtbar bleiben
zeitaufgelöste PL	Lebensdauer und Transferdynamik	Instrumentenantwort und Mehrfachzerfälle
Raman/IR	Phononen, Symmetrie, Elektron-Phonon-Kopplung	unterschiedliche Auswahlregeln
EELS	Plasmonen und elektronische Verluste	Elektronenstrahlschäden und Mehrfachstreuung
Pump–Probe	ultraschnelle Besetzungs- und Relaxationsdynamik	Signale überlagern mehrere Prozesse

Abbildung 3. Freie Ladungsträger erzeugen Drude-Optik und eine Plasmakante. An Grenzflächen entstehen Oberflächenplasmon-Polaritonen; verschiedene Spektroskopien trennen elektronische, vibronische und kollektive Anregungen.

56. Typische Fehler

Fehler	Korrektur
n und εr immer über n²=εr gleichsetzen	Nur bei vernachlässigbarer Absorption und μr≈1 ist n²≈εr.
κ mit dem Absorptionskoeffizienten verwechseln	α=4πκ/λ0 verwenden.
Transmission direkt als exp(−αd) auswerten	Oberflächenreflexion und Mehrfachreflexion berücksichtigen.
eine lineare Tauc-Region automatisch als Bandlücke ansehen	Übergangsart, Exzitonen, Urbach-Schwanz und Interferenz prüfen.
PL-Maximum mit der fundamentalen Bandlücke gleichsetzen	Stokes-Verschiebung, Defekte und Exzitonen berücksichtigen.
hohe PL-Intensität direkt als hohe Quantenausbeute deuten	Anregungsleistung, Absorption, Sammlung und Kalibrierung einbeziehen.
kurze Lebensdauer als starken nichtstrahlenden Verlust ansehen	Auch eine große strahlende Rate verkürzt τ; η und τ gemeinsam auswerten.
jede Absorptionsbande einem Defekt zuordnen	Interband-, Exzitonen-, Phonon- und Plasmonbeiträge vergleichen.
Plasmafrequenz mit einer mechanischen Stoßrate verwechseln	ωp ist eine kollektive Eigenfrequenz, γ eine Dämpfungsrate.
Ellipsometrie als modellfreie Messung betrachten	Die gemessenen Ψ- und Δ-Werte benötigen ein optisches Schichtmodell.
Kramers–Kronig über einen zu kleinen Spektralbereich anwenden	Nieder- und Hochfrequenzextrapolationen dokumentieren und testen.
optische Auswahlregeln als absolute Verbote behandeln	Phononen, Defekte, Symmetriebruch und höhere Multipole können Übergänge aktivieren.

57. Übungsaufgaben

Aufgabe 1: Optische Konstanten aus ε₁ und ε₂

Ein Material besitzt bei einer bestimmten Frequenz:

ε₁=4,00, ε₂=3,00

Berechne n und κ aus:

n=√[(|ε*|+ε₁)/2]

κ=√[(|ε*|−ε₁)/2]

Aufgabe 2: Reflektivität bei senkrechtem Einfall

Für n=2,50 und κ=0,300 berechne:

R=[(n−1)²+κ²]/[(n+1)²+κ²]

Aufgabe 3: Absorption und Transmission

Bei λ₀=600 nm besitzt ein Material κ=0,150.

Berechne:

1. α=4πκ/λ₀,
2. die ideale innere Transmission I/I₀=exp(−αz) nach z=2,00 µm.

Oberflächenreflexionen sollen vernachlässigt werden.

Aufgabe 4: Brewster-Winkel

Licht fällt aus Luft auf ein transparentes Medium mit n=1,50. Berechne:

θ_B=arctan(n₂/n₁)

Aufgabe 5: Wannier–Mott-Exziton

Für ε_r=12,0 und reduzierte Masse μ=0,150m_e berechne:

1. E_B=13,6 eV(μ/m_e)/ε_r²,
2. a_X=a₀ε_r(m_e/μ).

Aufgabe 6: Bandlücke und Photonwellenlänge

Ein direkter Halbleiter besitzt E_g=2,20 eV. Schätze die Grenzwellenlänge:

λ=hc/E_g

Aufgabe 7: Quantenausbeute und Lebensdauer

Für ein Lumineszenzzentrum gelten:

k_r=5,00×10⁷ s⁻¹, k_nr=2,00×10⁷ s⁻¹

Berechne η_PL und τ.

Aufgabe 8: Plasmafrequenz eines Metalls

Ein freies Elektronengas besitzt n=8,50×10²⁸ m⁻³ und m*=m_e.

Berechne:

1. ω_p=√[ne²/(ε₀m_e)],
2. f_p=ω_p/(2π),
3. ℏω_p in eV,
4. die zugehörige Vakuumwellenlänge c/f_p.

Aufgabe 9: Hauttiefe

Ein guter Leiter besitzt σ=5,80×10⁷ S m⁻¹, μ=μ₀ und wird bei f=1,00 GHz untersucht.

Berechne:

δ_skin=√[2/(μσω)]

Aufgabe 10: Direkte Tauc-Extrapolation

Für einen direkten erlaubten Übergang werde y=(αE)² gegen E aufgetragen. Zwei Punkte der linearen Region seien:

(E₁,y₁)=(2,10 eV,1,00)

(E₂,y₂)=(2,40 eV,4,00)

Bestimme die Energie, bei der die lineare Extrapolation y=0 erreicht.

58. Vollständige Lösungen

Lösung 1

Betrag der komplexen Permittivität:

|ε*|=√(4,00²+3,00²)=5,00

Damit:

n=√[(5,00+4,00)/2]=√4,50=2,121

κ=√[(5,00−4,00)/2]=√0,500=0,7071

Kontrolle:

n²−κ²=4,00, 2nκ=3,00

Lösung 2

R=[(2,50−1)²+0,300²]/[(2,50+1)²+0,300²]

R=(2,25+0,09)/(12,25+0,09)

R=0,1896=18,96 %

Der Wert enthält nur die Reflexion an einer einzelnen idealen Grenzfläche bei senkrechtem Einfall.

Lösung 3

Absorptionskoeffizient:

α=4π(0,150)/(600×10⁻⁹)

α=3,142×10⁶ m⁻¹

Transmission nach 2,00 µm:

I/I₀=exp[−(3,142×10⁶)(2,00×10⁻⁶)]

I/I₀=1,867×10⁻³

I/I₀=0,1867 %

Die optische Eindringtiefe beträgt 1/α=318,3 nm.

Lösung 4

θ_B=arctan(1,50)

θ_B=56,31°

Bei diesem Einfallswinkel verschwindet im ideal transparenten Fall die p-polarisierte Reflexion.

Lösung 5

Bindungsenergie:

E_B=13,6 eV·0,150/12,0²

E_B=0,01417 eV=14,17 meV

Exzitonenradius:

a_X=(5,2918×10⁻¹¹ m)(12,0/0,150)

a_X=4,233×10⁻⁹ m=4,233 nm

Der Radius umfasst mehrere Gitterzellen und ist mit dem Wannier–Mott-Bild vereinbar.

Lösung 6

λ=1239,84 eV nm/(2,20 eV)

λ=563,6 nm

Photonen mit kürzerer Wellenlänge besitzen genügend Energie für einen idealen Übergang über die Bandlücke. Exzitonen und Temperatur können die reale Kante verschieben.

Lösung 7

Quantenausbeute:

η_PL=5,00×10⁷/(5,00×10⁷+2,00×10⁷)

η_PL=0,7143=71,43 %

Lebensdauer:

τ=1/(7,00×10⁷)

τ=1,429×10⁻⁸ s=14,29 ns

Eine Lebensdauer allein genügt nicht zur Bestimmung der Quantenausbeute; k_r und k_nr müssen getrennt oder kombiniert bestimmt werden.

Lösung 8

Plasma-Kreisfrequenz:

ω_p=√[(8,50×10²⁸)(1,60218×10⁻¹⁹)²/((8,85419×10⁻¹²)(9,10938×10⁻³¹))]

ω_p=1,645×10¹⁶ s⁻¹

Frequenz:

f_p=2,618×10¹⁵ Hz

Plasmonenenergie:

ℏω_p=10,83 eV

Wellenlänge:

λ_p=c/f_p=114,5 nm

Die reale optische Plasmakante wird durch ε_∞, Bandstruktur und Dämpfung verschoben.

Lösung 9

Kreisfrequenz:

ω=2π(1,00×10⁹)=6,283×10⁹ s⁻¹

Einsetzen:

δ_skin=√[2/((4π×10⁻⁷)(5,80×10⁷)(6,283×10⁹))]

δ_skin=2,090×10⁻⁶ m=2,090 µm

Bei höheren Frequenzen sinkt die Hauttiefe wie f^−1/2.

Lösung 10

Steigung der Geraden:

m=(4,00−1,00)/(2,40−2,10)=10,0

Geradengleichung mit Punkt 1:

y−1,00=10,0(E−2,10)

Für y=0:

−1,00=10,0(E−2,10)

E=2,00 eV

Die formale Tauc-Lücke beträgt 2,00 eV. Ob dies die fundamentale Bandlücke ist, muss durch Übergangsart und Spektralqualität abgesichert werden.

59. Zusammenfassung

• Der komplexe Brechungsindex ist ñ=n+iκ.
• n steuert Phase und Brechung, κ die Dämpfung.
• Für nichtmagnetische Medien gilt ñ²=ε*.
• ε₁=n²−κ² und ε₂=2nκ.
• Reflexion entsteht auch ohne Absorption durch Brechungsindexkontrast.
• Bei senkrechtem Einfall gilt R=|(ñ−1)/(ñ+1)|².
• Der Absorptionskoeffizient ist α=4πκ/λ.
• Beer–Lambert beschreibt I=I₀exp(−αz).
• Fresnel-Gleichungen unterscheiden s- und p-Polarisation.
• Am Brewster-Winkel verschwindet die ideale p-Reflexion.
• Totalreflexion erzeugt ein evaneszentes Feld.
• Dünnschichten zeigen Mehrfachreflexion und Interferenz.
• Ellipsometrie misst das komplexe Verhältnis r_p/r_s.
• Drude-Optik beschreibt freie Ladungsträger.
• Die Plasmafrequenz skaliert wie √(n/m*).
• Unterhalb der Plasmakante reflektieren Metalle stark.
• Die Hauttiefe sinkt mit Leitfähigkeit und Frequenz.
• Interbandabsorption folgt Energieerhaltung und Auswahlregeln.
• Direkte Übergänge sind im k-Raum näherungsweise vertikal.
• Indirekte Übergänge benötigen zusätzlich ein Phonon.
• Tauc-Plots sind modellabhängige Extrapolationen.
• Urbach-Schwänze zeigen statische und dynamische Unordnung.
• Exzitonen sind gebundene Elektron-Loch-Paare.
• Wannier-Exzitonen sind ausgedehnt, Frenkel-Exzitonen lokalisiert.
• Die Exzitonenbindung sinkt mit ε_r².
• Photolumineszenz konkurriert mit nichtstrahlenden Prozessen.
• η_PL und τ liefern unterschiedliche Informationen.
• Gitterrelaxation erzeugt Stokes-Verschiebung.
• Defekte können Emissionszentren oder Quencher sein.
• Farbzentren erzeugen lokalisierte optische Übergänge.
• Volumenplasmonen sind kollektive Dichteschwingungen.
• Oberflächenplasmonen sind an Grenzflächen gebunden.
• Lokalisierte Plasmonen reagieren stark auf Form und Umgebung.
• Phonon-Polaritonen entstehen durch Licht-Gitter-Kopplung.
• Optische Anisotropie führt zu Doppelbrechung.
• Nichtlineare Polarisation erzeugt neue Frequenzen.
• Kombinierte Spektroskopie trennt Band-, Defekt-, Phonon- und Plasmonbeiträge.

60. Häufig gestellte Fragen

Warum glänzen Metalle?

Freie Elektronen reagieren kollektiv auf das Licht. Unterhalb der Plasmakante ist ε₁ häufig negativ und die Reflexion groß.

Ist ein hoher Brechungsindex gleichbedeutend mit starker Absorption?

Nein. n und κ sind getrennte optische Konstanten, obwohl beide kausal miteinander verknüpft sind.

Warum reflektiert Glas trotz Transparenz?

Der Brechungsindex unterscheidet sich von dem der Luft. Dadurch entsteht an jeder Grenzfläche Fresnel-Reflexion.

Was unterscheidet κ und α?

κ ist der dimensionslose Imaginärteil des Brechungsindex. α besitzt die Einheit m⁻¹ und ist über α=4πκ/λ verknüpft.

Warum ist die indirekte Absorption schwächer?

Der Übergang benötigt zusätzlich ein Phonon zur Kristallimpulserhaltung und ist damit ein Prozess höherer Ordnung.

Warum liegt eine Exzitonenlinie unterhalb der Bandkante?

Die Coulomb-Anziehung senkt die Energie des gebundenen Elektron-Loch-Paars um E_B.

Kann starke Photolumineszenz eine schlechte Ladungsträgersammlung anzeigen?

Ja. In einer Solarzelle konkurriert strahlende Rekombination mit Extraktion. Eine hohe interne Lumineszenzeffizienz ist dennoch ein Qualitätsmerkmal, muss aber im Bauelementkontext interpretiert werden.

Warum ist eine kurze PL-Lebensdauer nicht automatisch schlecht?

Eine hohe strahlende Rate kann gleichzeitig kurze Lebensdauer und hohe Quantenausbeute erzeugen.

Was unterscheidet Plasmon und Photon?

Ein Photon ist eine elektromagnetische Anregung. Ein Plasmon ist eine kollektive Elektronendichteschwingung; gekoppelte Zustände können plasmon-polaritonischen Charakter besitzen.

Warum braucht ein Oberflächenplasmon ein Prisma oder Gitter?

Sein paralleler Wellenvektor ist größer als der eines freien Photons gleicher Frequenz. Eine zusätzliche Struktur muss den fehlenden Impuls bereitstellen.

61. Ausblick auf Teil 12

Teil 12 behandelt Supraleitung. Widerstandsfreier Strom, Meissner-Ochsenfeld-Effekt, London-Gleichungen, Flussquantisierung, BCS-Theorie, Cooper-Paare, Energielücke, Kohärenzlänge, Typ-I- und Typ-II-Supraleiter, Abrikosov-Wirbel, kritische Felder und Ströme sowie Josephson-Effekte werden systematisch entwickelt.

Literatur und weiterführende Quellen

1. M. Fox: Optical Properties of Solids. Oxford University Press.
2. M. Dressel & G. Grüner: Electrodynamics of Solids. Cambridge University Press.
3. J. I. Pankove: Optical Processes in Semiconductors. Dover.
4. F. Wooten: Optical Properties of Solids. Academic Press.
5. S. A. Maier: Plasmonics: Fundamentals and Applications. Springer.

Didaktischer Hinweis: Isotrope Medien, ebene Grenzflächen, Drude-Elektronen, parabolische Bänder, wasserstoffähnliche Exzitonen und einexponentielle Lumineszenz sind kontrollierte Modelle. Reale Materialien besitzen Anisotropie, Oberflächenrauheit, Mehrfachreflexion, starke Wechselwirkungen, Defekte, nichtlokale Abschirmung und mehrere Relaxationspfade.

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