Titelbild: Eigene Illustration einer Bloch-Welle in einem periodischen Gitter sowie zentraler Beziehungen für freie Elektronen, Tight Binding und effektive Masse.
Die elektrische, optische und magnetische Antwort eines Festkörpers wird wesentlich durch seine Elektronenstruktur bestimmt. Einzelne Atome besitzen diskrete Orbitale. In einem Kristall wechselwirken jedoch sehr viele Atome periodisch miteinander. Aus den atomaren Energieniveaus entstehen dicht besetzte Energiebänder, getrennt durch erlaubte oder verbotene Energiebereiche.
Diese Bandstruktur entscheidet darüber, ob ein Stoff:
- ein Metall mit teilweise gefülltem Band,
- ein Halbleiter mit kleiner Bandlücke,
- ein Isolator mit großer Bandlücke oder
- ein Halbmetall mit punkt- oder linienförmiger Bandberührung
ist. Sie bestimmt außerdem Fermi-Flächen, Ladungsträgergeschwindigkeiten, effektive Massen, optische Übergänge und viele Transporteigenschaften.
Zur Beschreibung werden zwei komplementäre Grenzmodelle entwickelt:
- nahezu freie Elektronen: Elektronen bewegen sich fast frei und werden nur schwach vom periodischen Potential gestört,
- Tight Binding: Elektronen bleiben zunächst an Atomen lokalisiert und gewinnen durch Orbitalüberlappung eine endliche Bandbreite.
Beide Modelle führen zum selben zentralen Konzept: Elektronenzustände in einem periodischen Kristall sind Bloch-Zustände und bilden Energiebänder En(k).
Lernziele
- Drude- und Sommerfeld-Modell unterscheiden,
- Fermi-Wellenvektor, Fermi-Energie, Fermi-Geschwindigkeit und Fermi-Temperatur berechnen,
- Fermi-Dirac-Verteilung und Pauli-Prinzip anwenden,
- die elektronische Zustandsdichte in verschiedenen Dimensionen interpretieren,
- das Bloch-Theorem erklären,
- Kristallimpuls und mechanischen Impuls unterscheiden,
- Bandentstehung im nahezu freien Elektronenmodell erläutern,
- Bandlücken am Brillouin-Zonenrand herleiten,
- reduziertes und erweitertes Zonenschema unterscheiden,
- Tight-Binding-Dispersion und Bandbreite berechnen,
- effektive Masse aus der Bandkrümmung bestimmen,
- Elektronen und Löcher als Quasiteilchen beschreiben,
- Metalle, Halbleiter und Isolatoren aus Bandfüllung und Bandlücke klassifizieren,
- Grenzen der unabhängigen Elektronentheorie erkennen.
1. Warum Elektronen im Kristall anders sind als im Atom
Ein isoliertes Atom besitzt diskrete Eigenzustände. Werden N identische Atome zu einem Kristall zusammengebracht, überlappen ihre Orbitale. Das Pauli-Prinzip verbietet, dass alle Elektronen denselben Quantenzustand einnehmen. Ein ursprünglich einzelnes Atomniveau spaltet daher in N dicht benachbarte Zustände.
Für makroskopisches N liegen diese Zustände so dicht, dass man von einem Band spricht. Zwischen verschiedenen Gruppen atomarer Orbitale können Energiebereiche ohne Eigenzustände entstehen: Bandlücken.
2. Das klassische Drude-Modell
Drude behandelte Leitungselektronen als klassisches Gas geladener Teilchen, die zwischen Stößen frei beschleunigt werden. Im elektrischen Feld E gilt:
Im stationären Zustand folgt die Driftgeschwindigkeit:
und damit die Leitfähigkeit:
Das Modell erklärt qualitativ das Ohmsche Gesetz, versagt aber bei elektronischer Wärmekapazität, Temperaturabhängigkeit und magnetischer Antwort.
3. Sommerfelds quantenmechanische Verbesserung
Sommerfeld behielt die freie Bewegung zwischen Streuprozessen bei, ersetzte jedoch klassische Maxwell-Boltzmann-Statistik durch Fermi-Dirac-Statistik und berücksichtigte das Pauli-Prinzip.
Die Einteilchenenergie lautet:
Jeder räumliche k-Zustand kann wegen des Spins mit zwei Elektronen besetzt werden.
4. Born-von-Kármán-Randbedingungen
Für einen großen Würfel der Kantenlänge L werden periodische Randbedingungen verwendet:
Daraus folgen diskrete erlaubte Wellenvektoren:
und entsprechend für y und z. Im thermodynamischen Grenzfall liegen die k-Punkte praktisch kontinuierlich.
5. Zustandszählung im k-Raum
Ein k-Zustand beansprucht im dreidimensionalen k-Raum das Volumen:
Unter Einbezug der Spinentartung ist die Zahl der Zustände in einem k-Raumvolumen Vk:
Bei T=0 werden die Zustände von niedriger zu höherer Energie aufgefüllt.
6. Fermi-Kugel
Da E nur vom Betrag |k| abhängt, bilden alle besetzten Zustände bei T=0 eine Kugel im k-Raum. Ihr Radius ist der Fermi-Wellenvektor kF.
Mit der Elektronendichte n=N/V folgt:
7. Fermi-Energie
Die höchste bei T=0 besetzte Energie ist:
Typische Metalle besitzen Fermi-Energien von mehreren Elektronenvolt. Dieser Wert ist viel größer als kBT bei Raumtemperatur.
8. Fermi-Geschwindigkeit
Typische Werte liegen um 106 m s−1. Diese hohe Geschwindigkeit ist nicht die kleine Driftgeschwindigkeit eines elektrischen Stroms. Ohne Feld sind die k-Zustände symmetrisch besetzt und die Geschwindigkeiten heben sich makroskopisch auf.
9. Fermi-Temperatur
Für Metalle liegt TF häufig zwischen 104 und 105 K. Bei gewöhnlichen Temperaturen gilt T≪TF; das Elektronengas ist stark entartet.
10. Fermi-Dirac-Verteilung
f(E) ist die mittlere Besetzungswahrscheinlichkeit eines Einteilchenzustands. μ ist das chemische Potential der Elektronen.
- Bei T=0 ist f=1 unterhalb EF und f=0 oberhalb.
- Bei endlichem T wird der Sprung über einen Bereich von einigen kBT geglättet.
- Bei E=μ gilt stets f=1/2.
11. Warum nur Elektronen nahe EF reagieren
Tief unterhalb der Fermi-Energie sind alle benachbarten Zustände besetzt. Das Pauli-Prinzip blockiert viele mögliche Übergänge. Nur Elektronen in einer Energieschale von ungefähr kBT um EF können thermisch angeregt oder durch schwache Felder umverteilt werden.
Der aktive Anteil ist näherungsweise von der Größenordnung T/TF und bei Raumtemperatur in typischen Metallen klein.
12. Elektronische innere Energie
Bei T=0 beträgt die mittlere Energie pro Elektron im dreidimensionalen freien Gas:
Die Nulltemperaturenergie entsteht vollständig aus Pauli-Besetzung und wird daher als Fermi-Druck beziehungsweise Entartungsenergie interpretiert.
13. Elektronische Wärmekapazität
Für T≪TF ist:
mit:
Die lineare Temperaturabhängigkeit erklärt, warum der elektronische Beitrag viel kleiner als die klassische Vorhersage 3NkB/2 ist.
14. Pauli-Paramagnetismus
Ein Magnetfeld verschiebt die Energien der beiden Spinrichtungen. Nur Elektronen nahe der Fermi-Oberfläche können ihre Spinbesetzung ändern. Die resultierende Pauli-Suszeptibilität ist annähernd temperaturunabhängig und proportional zur Zustandsdichte am Fermi-Niveau.
15. Zustandsdichte in drei Dimensionen
Für freie Elektronen:
Die Zustandsdichte steigt wie √E. Am Fermi-Niveau gilt außerdem:
16. Dimensionalität der Zustandsdichte
| Dimension | freie Dispersion | Zustandsdichte |
|---|---|---|
| 1D | E∝k² | g(E)∝E−1/2 |
| 2D | E∝k² | g(E)=konstant je Subband |
| 3D | E∝k² | g(E)∝E1/2 |
In niedrigen Dimensionen treten dadurch stärkere Kanten und Singularitäten auf.
Abbildung 1. Bei T=0 füllen freie Elektronen eine Fermi-Kugel. Zustandsdichte und Fermi-Dirac-Verteilung bestimmen, wie viele Zustände bei einer Energie vorhanden und besetzt sind.
17. Grenzen des freien Elektronengases
Das Sommerfeld-Modell erklärt viele Metalltrends, aber nicht:
- warum manche Stoffe Isolatoren sind,
- warum effektive Massen von m abweichen,
- warum Fermi-Flächen nicht kugelförmig sind,
- warum Bandlücken entstehen,
- warum einige Materialien starke Anisotropie oder mehrere Bänder besitzen.
Dazu muss das periodische Kristallpotential berücksichtigt werden.
18. Periodisches Kristallpotential
Die Ionenrümpfe und die gemittelte Elektronendichte erzeugen ein Potential mit der Periodizität des Gitters:
R ist ein beliebiger Translationsvektor. Der Hamiltonoperator:
kommutiert mit allen Gittertranslationen. Diese Symmetrie bestimmt die Form seiner Eigenzustände.
19. Bloch-Theorem
Jede Einteilchen-Eigenfunktion in einem periodischen Potential kann geschrieben werden als:
Der Zellanteil u besitzt die Periodizität des Gitters:
Eine Bloch-Welle ist somit eine ebene Welle, deren Amplitude und Phase innerhalb jeder Elementarzelle periodisch moduliert werden.
20. Translationseigenschaft der Bloch-Zustände
Die Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ|² ist gitterperiodisch. Die Wellenfunktion selbst darf zwischen äquivalenten Zellen einen Phasenfaktor aufnehmen.
21. Bandindex und Kristallimpuls
n bezeichnet das Energieband, k den Kristallimpuls. Für jedes k existieren mehrere Eigenwerte:
Der Kristallimpuls ℏk ist nur bis auf einen reziproken Gittervektor G eindeutig:
Er ist eine Erhaltungsgröße der Translationssymmetrie, aber nicht allgemein mit dem Erwartungswert des mechanischen Impulses identisch.
22. Erste Brillouin-Zone für Elektronen
Da k modulo G definiert ist, können alle unabhängigen Zustände in die erste Brillouin-Zone zurückgefaltet werden. Die Bandzahl erhöht sich dabei.
Eine primitive Zelle mit N Zellen im Kristall liefert in jedem Band N räumliche k-Zustände beziehungsweise 2N Zustände einschließlich Spin.
23. Gruppengeschwindigkeit eines Bloch-Elektrons
Die Geschwindigkeit ist durch die Steigung der Banddispersion gegeben. Ein flaches Band besitzt kleine Gruppengeschwindigkeit und häufig große effektive Masse.
24. Semiklassische Bewegung im Feld
Für ein schwaches äußeres elektrisches Feld:
Zusammen mit v=(1/ℏ)∇kE beschreibt dies die Dynamik eines Wellenpakets innerhalb eines Bandes. Streuung begrenzt die Beschleunigung und führt zur endlichen Leitfähigkeit.
25. Nahezu freie Elektronen
Im nahezu freien Elektronenmodell ist V(r) gegenüber der kinetischen Energie klein. Weit entfernt von Entartungen bleibt die freie Parabel nur schwach verändert.
Besonders wichtig werden Fourierkomponenten des Potentials:
Eine Komponente VG koppelt Zustände mit Wellenvektoren k und k−G.
26. Bragg-Bedingung für Elektronen
Starke Kopplung tritt auf, wenn freie Elektronenzustände dieselbe Energie besitzen:
Für freie Elektronen führt dies auf:
Dies sind die Bragg-Ebenen im k-Raum. Sie bilden die Grenzen der Brillouin-Zonen.
27. Stehende Wellen am Zonenrand
In einer eindimensionalen Kette koppeln am Zonenrand k=π/a die Wellen eikx und e−ikx. Ihre Linearkombinationen sind:
Die beiden stehenden Wellen verteilen Elektronendichte unterschiedlich relativ zu den Ionenrümpfen. Deshalb besitzen sie verschiedene potentielle Energien.
28. Entstehung der Bandlücke
Im einfachsten Zweizustandsmodell spaltet die Entartung um:
Zwischen dem oberen Rand des unteren Bandes und dem unteren Rand des oberen Bandes existiert kein erlaubter Eigenwert. So entsteht eine Bandlücke allein durch das periodische Potential.
29. Reduziertes und erweitertes Zonenschema
- Erweitertes Zonenschema: k läuft durch mehrere Brillouin-Zonen; ein Band wird als fortgesetzter Zweig dargestellt.
- Reduziertes Zonenschema: alle Zustände werden in die erste Zone zurückgefaltet; mehrere Bänder erscheinen übereinander.
- Periodisches Zonenschema: die Bandstruktur wird in benachbarten Zonen wiederholt.
Alle Darstellungen enthalten dieselbe Physik.
30. Fermi-Fläche im realen Kristall
Die Fermi-Fläche ist die Menge aller k-Punkte mit:
Sie muss nicht kugelförmig sein. Kristallsymmetrie, mehrere Orbitale und Bandhybridisierung können Taschen, Hälse und offene Flächen erzeugen.
Die Fermi-Fläche steuert Transport, Magnetowiderstand und Quantenoszillationen.
Abbildung 2. Bloch-Wellen übernehmen die Gitterperiodizität in ihrem Zellanteil. Am Bragg-Zonenrand koppelt das periodische Potential entartete Wellen und öffnet eine Bandlücke.
31. Tight-Binding-Grenzfall
Tight Binding beginnt mit lokalisierten Atomorbitalen. Die Wellenfunktion eines Bloch-Zustands wird als phasengerechte Linearkombination von Orbitalen an allen Gitterplätzen geschrieben:
Die endliche Überlappung zwischen Nachbarorbitalen erlaubt Elektronen, durch das Gitter zu tunneln.
32. Eindimensionale Tight-Binding-Dispersion
Für ein Orbital pro Zelle und nächste Nachbarn:
t ist das Hopping-Integral. Sein Vorzeichen hängt von der Konvention ab. Die Bandbreite beträgt:
33. Physikalische Bedeutung des Hoppings
Große Orbitalüberlappung erzeugt großes |t| und damit:
- breite Energiebänder,
- große Gruppengeschwindigkeiten,
- kleinere effektive Massen,
- stärkere elektronische Delokalisierung.
Große Atomabstände oder stark lokalisierte d- und f-Orbitale führen häufig zu schmalen Bändern.
34. Bindende und antibindende Bandzustände
Am Bandminimum sind benachbarte Orbitale für t>0 überwiegend gleichphasig kombiniert. Die Elektronendichte zwischen den Atomen ist erhöht und die Energie bindend abgesenkt.
Am Bandmaximum wechseln die Phasen stärker; Knoten und antibindender Charakter erhöhen die Energie.
35. Mehrere Orbitale pro Zelle
s-, p-, d- und f-Orbitale erzeugen mehrere Bänder. Symmetrie erlaubt oder verbietet ihre Mischung. Wenn Bänder gleicher Symmetrie sich annähern, entsteht häufig eine vermiedene Kreuzung.
Kristallfelder spalten entartete Atomorbitale, beispielsweise d-Orbitale in oktaedrischer Umgebung.
36. Bandbreite und chemische Bindung
Bandstruktur und Bindung sind nicht getrennt. Das Auffüllen bindender Zustände stabilisiert den Kristall, das Auffüllen antibindender Zustände schwächt ihn.
Bandfüllung erklärt daher Trends in Kohäsionsenergie, Gleichgewichtsabstand und Magnetismus von Übergangsmetallen.
37. Effektive Masse
Nahe einem Extremum wird ein Band parabolisch entwickelt:
In einer Dimension:
In anisotropen Kristallen ist m* ein Tensor.
38. Positive und negative Bandkrümmung
Am Bandminimum ist die Krümmung positiv und m*>0. Am Bandmaximum ist sie negativ. Statt Elektronen mit negativer Masse zu verwenden, beschreibt man fehlende Elektronen dort als positiv geladene Löcher mit positiver Lochmasse.
39. Löcher als Quasiteilchen
Ein fast vollständig gefülltes Band trägt keinen Strom, weil die Beiträge aller besetzten k-Zustände sich aufheben. Fehlt ein Elektron, bleibt eine unkompensierte Bewegung zurück.
Das Loch verhält sich semiklassisch wie ein Teilchen mit:
- positiver Ladung +e,
- positiver effektiver Masse,
- entgegengesetztem Kristallimpuls zum fehlenden Elektron.
40. Van-Hove-Singularitäten
Die Zustandsdichte wird groß, wo die Banddispersion flach ist und ∇kE klein wird. Kritische Punkte der Bandstruktur erzeugen Van-Hove-Singularitäten.
In drei Dimensionen erscheinen meist Kanten oder Knicke; in zwei und einer Dimension können logarithmische oder inverse Wurzeldivergenzen auftreten.
41. Metall, Halbleiter und Isolator
| Stoffklasse | Bandfüllung bei T=0 | Folge |
|---|---|---|
| Metall | Band teilweise gefüllt oder Bänder überlappen | angrenzende freie Zustände vorhanden |
| Halbmetall | kleine Elektronen- und Lochtaschen oder Bandberührung | geringe Trägerdichte |
| Halbleiter | Valenzband voll, kleine Bandlücke | thermische oder optische Anregung erzeugt Träger |
| Isolator | Valenzband voll, große Bandlücke | bei gewöhnlichem T kaum freie Träger |
42. Warum ein volles Band nicht leitet
Für jedes besetzte k existiert in einem zeitumkehrsymmetrischen Kristall ein besetzter Zustand −k mit entgegengesetzter Geschwindigkeit. In einem vollständig gefüllten Band summieren sich alle Geschwindigkeiten zu null.
Ein elektrisches Feld kann die Besetzung nicht einfach verschieben, weil außerhalb der Zone nur äquivalente bereits besetzte Zustände liegen.
43. Direkte und indirekte Bandlücke
Bei einer direkten Bandlücke liegen Valenzbandmaximum und Leitungsbandminimum am selben k-Punkt. Ein Photon kann einen vertikalen Übergang im k-Raum anregen.
Bei einer indirekten Bandlücke liegen die Extrema an verschiedenen k-Punkten. Ein Phonon muss den fehlenden Kristallimpuls liefern oder aufnehmen. Optische Absorption und Emission sind daher schwächer.
44. Intrinsische Ladungsträger
In einem intrinsischen Halbleiter werden Elektronen thermisch aus dem Valenz- ins Leitungsband angeregt. Es entstehen gleich viele Elektronen und Löcher:
Die exponentielle Abhängigkeit von Eg und T erklärt den starken Temperaturanstieg der Halbleiterleitfähigkeit.
45. Elektrische Leitfähigkeit in mehreren Bändern
n und p sind Elektronen- und Lochdichten, μ die Mobilitäten. Die Mobilität enthält effektive Masse und Streuzeit:
Eine kleine Masse erhöht die Mobilität, sofern die Streuzeit nicht gleichzeitig sinkt.
46. Optische Übergänge
Die Absorptionskante eines Halbleiters enthält Information über Bandlücke, Dimensionalität und direkte beziehungsweise indirekte Natur. Auswahlregeln hängen von Symmetrie und Dipolmatrixelementen ab.
Excitonen sind gebundene Elektron-Loch-Paare und können unterhalb der freien Bandkante zusätzliche Spektrallinien erzeugen.
47. Messung von Bandstrukturen
Wichtige Methoden sind:
- Photoelektronenspektroskopie und ARPES für besetzte Bänder,
- inverse Photoemission für unbesetzte Zustände,
- optische Absorption und Reflexion,
- Tunnel- und Rastertunnelspektroskopie für lokale Zustandsdichte,
- de-Haas–van-Alphen- und Shubnikov–de-Haas-Oszillationen für Fermi-Flächen,
- Hall-Effekt für Trägerdichte und Vorzeichen.
48. Bandstruktur aus Rechnungen
Periodische Hartree–Fock-, Dichtefunktional- und Vielteilchenmethoden berechnen En(k), Zustandsdichten und Ladungsdichten. Die Kohn-Sham-Bänder der Dichtefunktionaltheorie sind nützliche Einteilchengrößen, aber nicht in jedem Fall exakt mit experimentellen Anregungsenergien identisch.
Einfache Funktionale unterschätzen häufig Bandlücken. Hybridfunktionale, GW-Korrekturen oder empirische Ansätze können Verbesserungen liefern.
49. Grenzen der unabhängigen Elektronen
Die Bandtheorie behandelt Elektronen oft als Quasiteilchen in einem gemittelten Potential. Starke Elektron-Elektron-Wechselwirkung kann jedoch:
- Mott-Isolatoren trotz teilweise gefülltem Band erzeugen,
- Magnetismus und Ladungsordnung stabilisieren,
- Quasiteilchenmassen stark renormieren,
- unkonventionelle Supraleitung begünstigen.
Bandfüllung allein ist daher nicht in jedem Material ausreichend.
Abbildung 3. Orbitalüberlappung verbreitert atomare Niveaus zu Bändern. Die Bandkrümmung definiert die effektive Masse; Bandfüllung und Bandlücke bestimmen die elektronische Stoffklasse.
50. Typische Fehler
| Fehler | Korrektur |
|---|---|
| Fermi-Energie mit mittlerer Elektronenenergie gleichsetzen | Bei T=0 gilt U/N=3EF/5. |
| Fermi-Geschwindigkeit als Driftgeschwindigkeit interpretieren | Symmetrische Fermi-Besetzung ergibt ohne Feld keinen Nettostrom. |
| alle Leitungselektronen als thermisch aktiv behandeln | Nur Zustände nahe EF können leicht umverteilt werden. |
| Bloch-Welle als rein ebene Welle ansehen | Der Zellanteil un,k moduliert sie gitterperiodisch. |
| Kristallimpuls mit mechanischem Impuls gleichsetzen | ℏk ist eine Symmetriegröße modulo G. |
| Bandlücke nur als Abstand atomarer Orbitale erklären | Periodische Bragg-Kopplung und Hybridisierung erzeugen Lücken. |
| k außerhalb der ersten Zone als grundsätzlich neuen Zustand behandeln | k und k+G sind äquivalent; die Bandzahl ändert sich. |
| ein volles Band als besonders gut leitend ansehen | Alle Geschwindigkeiten kompensieren sich; freie Nachbarzustände fehlen. |
| negative effektive Masse als instabiles reales Teilchen interpretieren | Nahe Bandmaxima ist die Lochbeschreibung zweckmäßiger. |
| Halbleiter und Isolator nur durch einen festen Grenzwert trennen | Bandlücke, Temperatur, Defekte und Messzeit bestimmen das Verhalten. |
| DFT-Kohn-Sham-Lücke immer mit optischer Lücke gleichsetzen | Quasiteilchen- und Excitonenkorrekturen können nötig sein. |
| teilweise gefülltes Band garantiert stets ein Metall | Starke Korrelation kann einen Mott-Isolator erzeugen. |
51. Übungsaufgaben
Aufgabe 1: Fermi-Wellenvektor und Fermi-Energie
Ein Metall besitze die Leitungselektronendichte:
Berechne:
- kF=(3π²n)1/3,
- EF=ℏ²kF²/(2me) in Joule und eV.
Aufgabe 2: Fermi-Geschwindigkeit und Fermi-Temperatur
Verwende das Ergebnis aus Aufgabe 1 und berechne:
Aufgabe 3: Zustandsdichte am Fermi-Niveau
Für das dreidimensionale freie Elektronengas gilt:
Berechne die Zustandsdichte für die Werte aus Aufgabe 1:
- in J−1 m−3,
- in eV−1 m−3.
Aufgabe 4: Fermi-Dirac-Besetzung
Berechne bei T=300 K die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Zustands, der 0,100 eV oberhalb des chemischen Potentials liegt:
Aufgabe 5: Energie am Brillouin-Zonenrand
Ein eindimensionales Gitter besitzt a=0,400 nm. Berechne:
- den Zonenrand k=π/a,
- die freie Elektronenenergie E=ℏ²k²/(2me) in eV.
Aufgabe 6: Bandlücke im nahezu freien Elektronenmodell
Die relevante Fourierkomponente des periodischen Potentials sei:
Berechne die einfache Zonenrandlücke:
Aufgabe 7: Tight-Binding-Band
Für eine eindimensionale Kette gelte:
mit t=1,50 eV. Berechne:
- E(0)−E0,
- E(π/a)−E0,
- die Bandbreite.
Aufgabe 8: Effektive Masse im Tight-Binding-Band
Am Bandminimum des Modells E=E0−2t cos(ka) gilt:
Berechne m*/me für t=1,00 eV und a=0,300 nm.
Aufgabe 9: Intrinsische Ladungsträgerdichte
Ein Halbleiter besitze bei 300 K:
Berechne:
Aufgabe 10: Leitfähigkeit eines n-Halbleiters
Ein n-Halbleiter besitzt n=1,00×1022 m−3 und μe=0,140 m² V−1 s−1. Der Lochbeitrag sei vernachlässigbar.
Berechne:
52. Vollständige Lösungen
Fermi-Wellenvektor:
Fermi-Energie:
Der Wert ist typisch für ein einfaches Metall mit ungefähr einem Leitungselektron pro Atom.
Fermi-Geschwindigkeit:
Fermi-Temperatur:
Bei 300 K ist T/TF≈0,00367. Das Elektronengas ist stark entartet.
Für die Einheit eV−1 wird mit 1,60218×10−19 J eV−1 multipliziert:
Bei 300 K ist:
Der Zustand ist mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 2,05 Prozent besetzt.
Zonenrand:
Freie Elektronenenergie:
Im periodischen Potential würde die freie Entartung an diesem Zonenrand aufgespalten.
Die vereinfachte Lücke ist doppelt so groß wie der Betrag der koppelnden Fourierkomponente.
Am Zonenzentrum:
Am Zonenrand:
Bandbreite:
Einsetzen in SI-Einheiten:
Die Bandkrümmung entspricht einem Elektron, das im Feld leichter beschleunigt wird als ein freies Elektron gleicher Streuzeit.
Zunächst:
Der Exponentialfaktor ist:
Damit:
Die kleine intrinsische Dichte zeigt die starke exponentielle Unterdrückung durch die Bandlücke.
Der Widerstand hängt zusätzlich von Geometrie und Kontaktierung ab; σ ist eine Materialgröße.
53. Zusammenfassung
- Aus atomaren Niveaus entstehen im Kristall Energiebänder.
- Das Drude-Modell ist klassisch; Sommerfeld ergänzt Pauli-Prinzip und Fermi-Statistik.
- Freie Elektronen besitzen E=ℏ²k²/(2m).
- Bei T=0 füllen Elektronen eine Fermi-Kugel.
- kF=(3π²n)1/3.
- EF=ℏ²kF²/(2m).
- Fermi-Geschwindigkeit und Driftgeschwindigkeit sind verschiedene Größen.
- Metalle besitzen meist T≪TF.
- Die Besetzung folgt der Fermi-Dirac-Verteilung.
- Nur Elektronen nahe EF tragen stark zu Wärme- und Ladungstransport bei.
- Die elektronische Wärmekapazität ist bei tiefem T linear.
- Die dreidimensionale freie Zustandsdichte wächst wie √E.
- Das Kristallpotential ist gitterperiodisch.
- Bloch-Zustände besitzen die Form un,keik·r.
- Kristallimpuls ist nur modulo G definiert.
- Die Gruppengeschwindigkeit ist ∇kE/ℏ.
- Bragg-Kopplung öffnet Bandlücken an Zonengrenzen.
- Im einfachen Modell gilt Eg=2|VG|.
- Reduziertes und erweitertes Zonenschema sind äquivalent.
- Die reale Fermi-Fläche kann stark von einer Kugel abweichen.
- Tight Binding beginnt mit lokalisierten Atomorbitalen.
- Für eine 1D-Kette gilt E=E0−2t cos(ka).
- Die Bandbreite beträgt 4|t|.
- Großes Hopping bedeutet breite Bänder und starke Delokalisierung.
- Die effektive Masse folgt aus der Bandkrümmung.
- Nahe einem Bandmaximum ist die Lochbeschreibung zweckmäßig.
- Van-Hove-Singularitäten entstehen an kritischen Punkten der Dispersion.
- Ein teilweise gefülltes Band ermöglicht metallische Leitung.
- Ein volles Band trägt keinen Nettostrom.
- Halbleiter besitzen eine kleine, Isolatoren meist eine größere Bandlücke.
- Direkte und indirekte Lücken unterscheiden sich im erforderlichen Kristallimpuls.
- Intrinsische Trägerdichten sind exponentiell von Eg/T abhängig.
- Leitfähigkeit hängt von Trägerdichte, effektiver Masse und Streuzeit ab.
- Starke Elektronenkorrelation kann über einfache Bandtheorie hinausführen.
54. Häufig gestellte Fragen
Warum bewegen sich Elektronen mit großer Fermi-Geschwindigkeit, ohne einen Strom zu erzeugen?
Für jeden besetzten Zustand k ist ohne äußeres Feld ein Zustand −k besetzt. Die entgegengesetzten Geschwindigkeiten kompensieren sich.
Liegt die Fermi-Energie in jedem Festkörper innerhalb eines Bandes?
In einem Metall ja. In Halbleitern und Isolatoren liegt das chemische Potential bei T=0 in einer Bandlücke.
Ist eine Bloch-Welle über den gesamten Kristall ausgedehnt?
Ein idealer Bloch-Eigenzustand ist delokalisiert. Streuung, Unordnung, Oberflächen oder starke Wechselwirkung können reale Zustände lokalisieren.
Warum entsteht am Zonenrand eine Bandlücke?
Bragg-gekoppelte Wellen bilden zwei stehende Kombinationen mit unterschiedlicher Elektronendichte relativ zum periodischen Potential. Dadurch spalten ihre Energien.
Sind nahezu freie Elektronen und Tight Binding widersprüchliche Modelle?
Nein. Sie sind verschiedene Ausgangsgrenzen derselben Bandphysik. Viele reale Bänder liegen zwischen beiden Grenzfällen.
Was bedeutet eine effektive Masse kleiner als die Elektronenmasse?
Die Bandkrümmung ist größer als die freie Parabelkrümmung. Das Bloch-Wellenpaket reagiert im semiklassischen Modell stärker auf ein äußeres Feld.
Warum leitet ein vollständig gefülltes Band nicht?
Alle Geschwindigkeitsbeiträge kompensieren sich, und das Pauli-Prinzip verhindert eine kleine Verschiebung in freie Nachbarzustände.
Was ist ein Loch?
Ein Loch ist das Fehlen eines Elektrons in einem fast vollen Band. Es verhält sich als positiv geladenes Quasiteilchen mit eigener effektiver Masse.
Ist jede kleine Bandlücke ein Halbleiter?
Das Verhalten hängt außerdem von Temperatur, Defekten, Dotierung, Mobilität und möglicher Bandüberlappung ab.
Warum kann ein teilweise gefülltes Band trotzdem isolierend sein?
Starke Elektron-Elektron-Abstoßung oder Unordnung kann Zustände lokalisieren. Mott- und Anderson-Isolatoren liegen außerhalb der einfachen unabhängigen Bandtheorie.
55. Ausblick auf Teil 7
Teil 7 behandelt Halbleiterphysik und Bauelementgrundlagen. Intrinsische und extrinsische Halbleiter, Donatoren, Akzeptoren, Fermi-Niveau, Ladungsträgerstatistik, Hall-Effekt, Rekombination, p-n-Übergang, Raumladungszone, Diodenkennlinie, Photoleitung, Solarzellen und Leuchtdioden werden systematisch entwickelt.
Literatur und weiterführende Quellen
- C. Kittel: Introduction to Solid State Physics. Wiley.
- N. W. Ashcroft & N. D. Mermin: Solid State Physics. Cengage.
- H. Ibach & H. Lüth: Solid-State Physics. Springer.
- S. H. Simon: The Oxford Solid State Basics. Oxford University Press.
- J. Singleton: Band Theory and Electronic Properties of Solids. Oxford University Press.
Didaktischer Hinweis: Freies Elektronengas, nahezu freie Elektronen, nächste-Nachbar-Tight-Binding, parabolische effektive Masse und unabhängige Quasiteilchen sind kontrollierte Modelle. Reale Festkörper besitzen mehrere Orbitale, Spin-Bahn-Kopplung, Elektron-Phonon-Streuung, Unordnung, Oberflächen und Elektronenkorrelation.
Bild- und Nutzungsnachweis: Das Titelbild und die Abbildungen 1–3 wurden eigens für diesen Blogartikel mit selbst erstelltem Programmcode erzeugt. Es wurden keine Grafiken aus Lehrbüchern oder anderen Publikationen übernommen. Die Abbildungen sind für die Verwendung in diesem monetarisierbaren Blog vorgesehen.
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