Titelbild: Eigene Illustration von Meissner-Feldverdrängung, Cooper-Paaren und zentralen Beziehungen für Flussquantisierung, BCS-Energielücke und Josephson-Effekt.
Supraleitung ist ein makroskopischer Quantenzustand mit verschwindendem Gleichstromwiderstand, Feldverdrängung und einer wohldefinierten kollektiven Phase. Sie ist damit mehr als ein besonders guter Leiter. Ein idealer perfekter Leiter könnte ein einmal eingeschlossenes Magnetfeld konservieren; ein Supraleiter stellt dagegen im thermodynamischen Gleichgewicht den Meissner-Zustand her.
Die Erscheinung verbindet mehrere Ebenen der Festkörperphysik:
- elektromagnetische Abschirmströme auf der London-Eindringtiefe,
- eine komplexe Ordnungsparameterfunktion mit makroskopischer Phase,
- Cooper-Paarbildung nahe der Fermi-Fläche,
- eine Energielücke für fermionische Quasiteilchen,
- quantisierte magnetische Flussschläuche in Typ-II-Materialien,
- phasenkohärentes Tunneln durch Josephson-Kontakte.
Technisch ermöglicht Supraleitung hohe Magnetfelder, hochempfindliche Magnetometrie, verlustarme Resonatoren, Präzisionsmesstechnik und supraleitende Quantenschaltungen. Gleichzeitig ist sie ein Prüfstein für Vielteilchenphysik und gebrochene Eichsymmetrie.
Lernziele
- Nullwiderstand und Meissner-Effekt unterscheiden,
- London-Gleichungen und Eindringtiefe anwenden,
- Fluss- und Flussoidquantisierung erklären,
- Kondensationsenergie und thermodynamisches kritisches Feld berechnen,
- Kohärenzlänge und Ginzburg–Landau-Parameter interpretieren,
- Typ-I- und Typ-II-Supraleiter unterscheiden,
- Cooper-Instabilität und phononenvermittelte Paarung erklären,
- BCS-Energielücke und Quasiteilchendichte einordnen,
- Isotopeneffekt und Wärmekapazitätssprung interpretieren,
- Abrikosov-Wirbel, Pinning und Flussfluss beschreiben,
- Gleichstrom- und Wechselstrom-Josephson-Effekt anwenden,
- Shapiro-Stufen und SQUID-Periodizität berechnen,
- wichtige Messmethoden und Anwendungen bewerten.
1. Verschwindender Gleichstromwiderstand
Unterhalb der kritischen Temperatur Tc kann der Gleichstromwiderstand eines Supraleiters unter die experimentelle Nachweisgrenze fallen. In einem geschlossenen supraleitenden Ring können Ströme über sehr lange Zeiten ohne messbaren Zerfall zirkulieren.
Der Zustand bleibt jedoch nur innerhalb kritischer Grenzen bestehen. Zu hohe Temperatur, zu großes Magnetfeld oder zu hohe Stromdichte zerstören die Supraleitung.
2. Perfekter Leiter und Supraleiter
Aus der klassischen Induktionsgleichung folgt für einen idealen Leiter mit ρ=0:
Ein bereits vorhandenes inneres Feld bliebe eingefroren. Ein Supraleiter zeigt dagegen beim Abkühlen unter Tc im schwachen Feld eine aktive Feldverdrängung. Dies ist der Meissner-Ochsenfeld-Effekt.
3. Meissner-Effekt
Im idealen Meissner-Zustand ist das Magnetfeld tief im Volumen:
Abschirmströme nahe der Oberfläche erzeugen ein Gegenfeld. Die Feldverdrängung ist thermodynamisch reversibel, solange keine irreversible Wirbelbewegung oder Pinningprozesse auftreten.
4. Erste London-Gleichung
Für die supraleitende Stromdichte js:
Ein konstantes elektrisches Feld würde den Superstrom ohne ohmsche Relaxation beschleunigen. Im stationären verlustfreien Zustand ist das elektrische Feld im Inneren daher null.
5. Zweite London-Gleichung
Sie verbindet magnetisches Feld und Wirbel der Abschirmstromdichte. Zusammen mit Maxwell führt sie zur exponentiellen Felddämpfung.
6. London-Eindringtiefe
ns ist hier die Dichte supraleitender Elektronen bei Ladung e und effektiver Masse m*. Wird stattdessen mit Cooper-Paardichte und Ladung 2e gerechnet, muss die entsprechende Paarmasse verwendet werden.
Für eine ebene Oberfläche:
7. Temperaturabhängige Superfluiddichte
λ wächst, wenn ns abnimmt. Nahe Tc divergiert die Eindringtiefe im idealen kontinuierlichen Übergang. Ein einfaches Zwei-Flüssigkeiten-Modell verwendet:
Es ist phänomenologisch und ersetzt keine mikroskopische BCS-Rechnung.
8. Kohärenzlänge
Die Kohärenzlänge ξ beschreibt die Strecke, über die sich der supraleitende Ordnungsparameter wesentlich ändern kann. In der sauberen schwach gekoppelten BCS-Näherung:
Große ξ bedeutet räumlich ausgedehnte Cooper-Paare und langsame Variation der Kondensatamplitude.
9. Ginzburg–Landau-Ordnungsparameter
Nahe Tc wird der supraleitende Zustand durch eine komplexe Funktion beschrieben:
|ψ|² ist proportional zur Paar- beziehungsweise Superfluiddichte. Die Phase φ steuert Superstrom, Interferenz und Flussquantisierung.
10. Ginzburg–Landau-Funktional
α ändert bei Tc sein Vorzeichen. Der Gradiententerm bestraft räumliche Änderungen und koppelt die Phase eichinvariant an das Vektorpotential A.
11. Superstrom und Phasengradient
Für nahezu konstante Amplitude:
Ein Phasengradient trägt also Strom. Der physikalische Ausdruck enthält immer die Kombination aus Phase und Vektorpotential.
12. Flussoidquantisierung
Die Wellenfunktion muss nach einem geschlossenen Umlauf eindeutig sein:
Daraus folgt für einen ausreichend dicken supraleitenden Ring die Quantisierung des magnetischen Flusses:
In endlichen Geometrien ist streng genommen das Flussoid aus magnetischem Fluss und Stromterm quantisiert.
13. Thermodynamisches kritisches Feld
Das kritische Feld misst die freie Energiedifferenz zwischen normalem und supraleitendem Zustand. Wird Hc in A m−1 verwendet:
Mit Bc=μ0Hc lautet dieselbe Kondensationsenergiedichte:
14. Temperaturabhängigkeit von Bc
Eine häufig brauchbare Näherung ist:
Bei T=Tc verschwindet die Kondensationsenergie.
15. Ginzburg–Landau-Parameter
Er vergleicht magnetische Eindringtiefe und Ordnungsparameter-Kohärenzlänge.
- κ<1/√2: Typ-I-Supraleiter,
- κ>1/√2: Typ-II-Supraleiter.
16. Typ-I-Supraleiter
Typ I besitzt im idealen Fall einen Meissner-Zustand bis zum thermodynamischen kritischen Feld. Oberhalb davon wird das Material normalleitend. Wegen Entmagnetisierung kann in endlichen Proben ein makroskopischer Zwischenzustand aus normalen und supraleitenden Bereichen auftreten.
17. Typ-II-Supraleiter
Typ II besitzt zwei charakteristische Felder:
- Bc1: erster Eintritt quantisierter Wirbel,
- Bc2: Überlappung der Wirbelkerne und Übergang zum Normalzustand.
Zwischen beiden liegt der Abrikosov-Mischzustand.
18. Oberes kritisches Feld
In der Ginzburg–Landau-Näherung:
Eine kurze Kohärenzlänge ermöglicht daher sehr hohe obere kritische Felder.
19. Unteres kritisches Feld
Für κ≫1 gilt näherungsweise:
Zusätzliche Konstanten hängen von Näherung und Definition ab. Bc1 markiert den Punkt, an dem ein Wirbel energetisch günstiger wird als vollständige Feldverdrängung.
Abbildung 1. Das Magnetfeld fällt auf der London-Eindringtiefe ab. Das Verhältnis von λ und ξ entscheidet, ob ein Material einen Typ-I-Übergang oder einen Typ-II-Mischzustand mit zwei kritischen Feldern zeigt.
20. Cooper-Instabilität
Die normale Fermi-Fläche ist gegenüber einer noch so schwachen attraktiven Wechselwirkung instabil. Zwei Elektronen nahe EF können einen gebundenen korrelierten Zustand bilden, obwohl die effektive Anziehung klein ist.
Im konventionellen Fall koppeln Elektronen mit entgegengesetztem Impuls und entgegengesetztem Spin:
Der Gesamtimpuls ist näherungsweise null, und das Paar besitzt im einfachsten Fall Singulettsymmetrie.
21. Phononenvermittelte Anziehung
Ein Elektron polarisiert das Ionengitter. Diese Verzerrung kann ein zweites Elektron anziehen. Die Wechselwirkung ist verzögert: Das Gitter reagiert viel langsamer als die elektronische Coulomb-Abstoßung.
Innerhalb eines Energiefensters von der Größenordnung der Debye-Energie kann die effektive Wechselwirkung attraktiv werden.
22. Warum Paare nicht wie kleine Moleküle aussehen
In schwach gekoppelten konventionellen Supraleitern ist ξ oft wesentlich größer als der mittlere Elektronenabstand. Viele Cooper-Paare überlappen räumlich. Das Kondensat ist deshalb kein verdünntes Gas isolierter Bosonen, sondern ein kohärenter Vielteilchenzustand.
23. BCS-Grundzustand
Jeder k-Zustand ist eine kohärente Überlagerung aus leerem und paarbesetztem Zustand. Der BCS-Zustand besitzt keine feste Teilchenzahl, aber eine wohldefinierte makroskopische Phase.
24. Quasiteilchenenergie
ξk ist die normale Bandenergie relativ zum chemischen Potential. Δ ist der komplexe Paarordnungsparameter. Selbst bei ξk=0 kostet die Erzeugung eines Quasiteilchens mindestens |Δ|.
25. BCS-Energielücke
Im schwach gekoppelten isotropen s-Wellen-Fall:
Diese universelle Zahl ist ein Kennzeichen des einfachen BCS-Grenzfalls. Starke Kopplung, mehrere Bänder oder anisotrope Paarung können deutlich abweichen.
26. Temperaturabhängigkeit der Lücke
Δ nimmt mit steigender Temperatur ab und verschwindet bei Tc. Nahe Tc gilt näherungsweise:
Bei tiefen Temperaturen nähert sich Δ(T) exponentiell seinem Nulltemperaturwert.
27. Supraleitende Zustandsdichte
Für einen isotropen voll geöffneten Spalt:
Für |E|<Δ fehlen Einteilchenzustände. Bei |E|=Δ erscheinen ideale Kohärenzspitzen, die durch Temperatur, Streuung und Anisotropie verbreitert werden.
28. Kohärenzfaktoren
Die BCS-Überlagerungskoeffizienten uk und vk beeinflussen Streuung, Absorption, Kernspinrelaxation und Tunneln. Supraleitende Antwort ist daher nicht allein durch eine Lücke in der Zustandsdichte bestimmt.
29. Isotopeneffekt
Da Gitterschwingungsfrequenzen ungefähr wie M−1/2 skalieren, erwartet der einfache phononenvermittelte BCS-Grenzfall:
Abweichungen können aus mehreren Phononenmoden, Coulombbeitrag, Anharmonizität oder nichtkonventioneller Paarung entstehen.
30. Wärmekapazitätssprung
Am Übergang zeigt ein schwach gekoppelter BCS-Supraleiter:
Unterhalb Tc fällt der elektronische Beitrag bei einer voll geöffneten Lücke exponentiell ab. Knoten in Δ(k) erzeugen dagegen Potenzgesetze.
31. Spezifische Wärme und Entropie
Der supraleitende Übergang zweiter Ordnung besitzt keine latente Wärme. Die Entropien von normalem und supraleitendem Zustand stimmen bei Tc überein, während die Wärmekapazität springt.
32. NMR und Hebel-Slichter-Peak
Im einfachen s-Wellen-BCS-Fall kann die Kernspinrelaxationsrate unmittelbar unter Tc zunächst ansteigen. Dieser Kohärenzpeak wird durch starke Kopplung, Anisotropie, Magnetismus oder Unordnung abgeschwächt.
33. Tunnelspektroskopie
In einem Normalmetall-Isolator-Supraleiter-Kontakt folgt die differentielle Leitfähigkeit näherungsweise der supraleitenden Zustandsdichte:
So werden Δ, Kohärenzspitzen und Unterspaltzustände direkt sichtbar.
34. Paarungssymmetrie
Der Ordnungsparameter kann von Richtung und Band abhängen:
- isotrope s-Welle: voll geöffnete Lücke,
- anisotrope s-Welle: richtungsabhängig, aber ohne Vorzeichenwechsel möglich,
- d-Welle: typischerweise Linienknoten und Vorzeichenwechsel,
- p-Welle oder andere ungerade Parität: häufig Spin-Triplett-Komponenten.
Thermodynamik, Phasenempfindlichkeit, Streuung und Oberflächenzustände werden kombiniert, um die Symmetrie zu bestimmen.
Abbildung 2. Eine effektive Anziehung koppelt zeitumgekehrte Elektronenzustände. Der BCS-Grundzustand ist eine kohärente Überlagerung von Paarbesetzungen und besitzt eine Energielücke für fermionische Quasiteilchen.
35. Abrikosov-Wirbel
Im Typ-II-Mischzustand dringt Magnetfeld in quantisierten Flussschläuchen ein. Jeder Wirbel trägt ein Flussquant:
Im Kern ist der Ordnungsparameter unterdrückt. Außerhalb zirkuliert ein Superstrom, dessen Magnetfeld auf der Skala λ abfällt.
36. Wirbelgitter
Abstoßende Wirbel ordnen sich im idealen isotropen Material häufig zu einem dreieckigen Abrikosov-Gitter. Die Wirbeldichte ist:
Für ein dreieckiges Gitter ist der mittlere Abstand:
37. Lorentzkraft auf Wirbel
Eine Stromdichte übt pro Wirbellänge die Kraft aus:
Bewegte Wirbel erzeugen ein elektrisches Feld:
Damit entsteht trotz Cooper-Paar-Kondensat ein endlicher Widerstand.
38. Flux Flow
Bei freier viskoser Wirbelbewegung spricht man von Flussfluss. Näherungsweise:
Jeder Wirbelkern enthält normalähnliche Quasiteilchen und dissipiert Energie.
39. Flusspinning
Defekte, Ausscheidungen, Korngrenzen und lokale Variationen von Tc oder ξ können Wirbel energetisch festhalten. Pinning ist für technische Hochstromleiter erwünscht, weil es Wirbelbewegung und damit Spannung unterdrückt.
40. Kritische Stromdichte
Die technische kritische Stromdichte Jc ist häufig durch Depinning begrenzt. Sie ist daher keine reine Paarzerstörungsgrenze, sondern hängt stark von Mikrostruktur, Feld, Temperatur und Messkriterium ab.
41. Flux Creep
Thermische Aktivierung kann Wirbel über Pinningbarrieren bewegen:
Der Strom zerfällt dann langsam, und ein kleiner endlicher Widerstand erscheint. In stark anisotropen oder hochtemperaturigen Materialien kann Flux Creep erheblich sein.
42. Flussquantisierung in Ringen
In einem supraleitenden Ring werden nur diskrete Flusszustände erlaubt. Übergänge zwischen ihnen erfordern eine lokale Unterdrückung des Ordnungsparameters, einen Phasensprung oder den Eintritt eines Wirbels.
43. Josephson-Kontakt
Zwei Supraleiter werden durch eine dünne Barriere gekoppelt. Die makroskopischen Phasen φ1 und φ2 bilden eine eichinvariante Phasendifferenz φ.
44. Gleichstrom-Josephson-Effekt
Ohne Spannung kann ein Gleichstrom durch die Barriere fließen. Ic hängt von Transparenz, Fläche, Temperatur und den supraleitenden Elektroden ab.
45. Wechselstrom-Josephson-Effekt
Bei konstanter Spannung oszilliert der Strom mit:
Die Umrechnung beträgt ungefähr 483,598 MHz pro Mikrovolt.
46. Shapiro-Stufen
Wird ein Josephson-Kontakt mit Mikrowellenfrequenz f bestrahlt, kann sich die intrinsische Josephson-Oszillation synchronisieren. Es entstehen Spannungsstufen:
Die hochpräzise Frequenz-Spannungs-Beziehung ist Grundlage von Josephson-Spannungsnormalen.
47. Josephson-Energie
Die potentielle Energie des Kontakts ist:
Zusammen mit Kapazität und Dissipation entsteht die Dynamik eines phasengetriebenen nichtlinearen Oszillators.
48. RCSJ-Modell
Das Resistively and Capacitively Shunted Junction-Modell lautet:
Es erklärt hysteretische I-V-Kennlinien, Plasmaoszillationen und Schaltprozesse realer Kontakte.
49. SQUID
Ein supraleitendes Quanteninterferenzbauelement enthält einen Ring mit einem oder zwei Josephson-Kontakten. Flussquantisierung zwingt die Phasen zu einer feldabhängigen Interferenzbedingung.
Der kritische Strom wird periodisch mit:
moduliert. Dadurch lassen sich extrem kleine Flussänderungen messen.
50. RF- und DC-SQUID
- RF-SQUID: ein Josephson-Kontakt in einem supraleitenden Ring,
- DC-SQUID: zwei Kontakte, deren Ströme interferieren.
DC-SQUIDs werden häufig in einer Flussregelschleife betrieben, um eine lineare Ausgangsgröße zu erhalten.
51. Supraleitende Quantenschaltungen
Josephson-Kontakte liefern nichtlineare Induktivität ohne die starke Dissipation gewöhnlicher Halbleiterbauelemente. Zusammen mit Kapazitäten entstehen diskrete Schaltungsenergieniveaus.
Transmon-, Flux- und andere supraleitende Qubits unterscheiden sich in ihrem Verhältnis aus Josephson-, Lade- und Induktionsenergie.
52. Mikrowellenverluste
Bei endlicher Frequenz reagieren Kondensat und Quasiteilchen gemeinsam. Die komplexe Leitfähigkeit enthält einen induktiven Superfluidanteil und einen dissipativen Quasiteilchenanteil.
Oberflächenwiderstand, Zwei-Niveau-Systeme in amorphen Dielektrika, Wirbel und quasipartikelinduzierte Verluste begrenzen Resonatorgüten.
53. Konventionelle und unkonventionelle Supraleitung
Konventionell bezeichnet eine Paarung, die im Wesentlichen durch Elektron-Phonon-Kopplung beschrieben wird. Unkonventionelle Supraleiter besitzen häufig anisotrope oder vorzeichenwechselnde Lücken und Paarungsmechanismen, die mit elektronischen Korrelationen oder Spinfluktuationen verbunden sind.
Eine hohe kritische Temperatur allein definiert nicht, ob ein Material konventionell oder unkonventionell ist.
54. Mehrband-Supraleitung
Mehrere Fermi-Flächenblätter können unterschiedliche Lücken tragen. Zwischenbandkopplung sorgt für eine gemeinsame Tc, während Wärmekapazität, Tunneln und kritische Felder mehrere Energieskalen zeigen können.
55. Unordnung und Paarbrechung
Nichtmagnetische Unordnung beeinflusst einen isotropen s-Wellen-Zustand im schwachen Grenzfall relativ wenig. Magnetische Streuung bricht zeitumgekehrte Paare und senkt Tc.
Bei vorzeichenwechselnder anisotroper Paarung kann bereits nichtmagnetische Zwischenbandstreuung stark paarbrechend wirken.
56. Wichtige Messmethoden
| Methode | Primäre Information | Wichtige Grenze |
|---|---|---|
| Vierpunktwiderstand | Tc, Nullwiderstand, kritischer Strom | Nullwiderstand allein beweist keinen Meissner-Effekt |
| Magnetisierung | Meissner-Abschirmung, Bc1, Pinning | Entmagnetisierung und irreversible Wirbelantwort |
| Wärmekapazität | Volumenübergang, Energielücke, Entropie | kleine Proben- und Hintergrundsignale |
| Tunnelspektroskopie | Δ, Zustandsdichte, Unterspaltzustände | Oberfläche und Barrierenqualität |
| µSR | Feldverteilung, λ, magnetische Koexistenz | Modellierung der Feldverteilung |
| Mikrowellenresonator | λ(T), Oberflächenwiderstand, Quasiteilchen | Geometrie- und Kalibrierungsabhängigkeit |
| Neutronen/Raman/Optik | Phononen, Kopplung, Energielücken | Auswahlregeln und begrenzte Energieskalen |
| Josephson-Interferenz | Phase und Paarungssymmetrie | Kontaktgeometrie und parasitäre Flüsse |
57. Technische Anwendungen
- Magnete für Kernspinresonanz und Teilchenbeschleuniger,
- supraleitende Kabel und Strombegrenzer,
- magnetische Lager und Levitation,
- SQUID-Magnetometrie und biomagnetische Messungen,
- hochselektive Mikrowellenfilter und Resonatoren,
- Detektoren für Photonen und Teilchen,
- Josephson-Spannungsnormale,
- supraleitende Quantenschaltungen.
Technische Nutzung erfordert nicht nur hohe Tc, sondern auch hohe Jc, große kritische Felder, mechanische Stabilität, reproduzierbare Kontakte und wirtschaftliche Kühlung.
Abbildung 3. Im Typ-II-Mischzustand dringt das Feld als quantisierte Wirbel ein. Josephson-Kontakte wandeln eine makroskopische Phasendifferenz in Strom und Spannung um; SQUIDs nutzen die Flussperiodizität zur Präzisionsmessung.
58. Typische Fehler
| Fehler | Korrektur |
|---|---|
| Nullwiderstand als vollständige Definition verwenden | Meissner-Effekt und thermodynamische Signatur zusätzlich prüfen. |
| Supraleiter mit perfektem klassischem Leiter gleichsetzen | Ein perfekter Leiter kann eingeschlossenen Fluss konservieren; der Meissner-Zustand verdrängt ihn. |
| λ und ξ verwechseln | λ beschreibt Magnetfelddämpfung, ξ die Variation des Ordnungsparameters. |
| Hc in A m−1 und Bc in Tesla vermischen | u=Bc²/(2μ0)=μ0Hc²/2 verwenden. |
| Cooper-Paare als kleine starre Moleküle ansehen | Im BCS-Grenzfall überlappen viele ausgedehnte Paare. |
| 2Δ=3,52kBTc als universelles Naturgesetz behandeln | Die Beziehung gilt für schwache isotrope BCS-Kopplung. |
| jeden endlichen Widerstand unter Tc als zerstörte Paarung deuten | Wirbelbewegung kann Dissipation erzeugen, obwohl das Kondensat besteht. |
| Jc als reine intrinsische Paarbruchgrenze ansehen | Technische Jc wird meist durch Pinning und Depinning bestimmt. |
| Flussquant mit h/e berechnen | Die Kondensatladung ist 2e; daher Φ0=h/(2e). |
| Josephson-Strom als gewöhnlichen quasipartikelbedingten Tunnelstrom ansehen | Er ist kohärenter Paarstrom und kann bei V=0 fließen. |
| eine magnetische Abschirmung ohne Entmagnetisierungskorrektur quantifizieren | Probenform, Geometrie und vollständiges Volumen berücksichtigen. |
| hohe Tc automatisch mit technischer Überlegenheit gleichsetzen | Jc, Bc2, Anisotropie, Mechanik und Kühlung einbeziehen. |
59. Übungsaufgaben
Aufgabe 1: London-Eindringtiefe
Die Dichte supraleitender Elektronen sei ns=5,00×1028 m−3. Verwende m*=me.
Berechne:
Aufgabe 2: Kritisches Feld bei endlicher Temperatur
Ein Typ-I-Supraleiter besitzt Bc(0)=0,0800 T und Tc=7,20 K.
Berechne Bc bei T=4,20 K:
Aufgabe 3: Kondensationsenergiedichte
Verwende den Wert aus Aufgabe 2 und berechne:
Aufgabe 4: Wirbeldichte und Wirbelabstand
Ein Typ-II-Supraleiter befindet sich bei einer mittleren Flussdichte B=1,00 T im Mischzustand.
Berechne:
für ein dreieckiges Wirbelgitter.
Aufgabe 5: BCS-Energielücke
Ein konventioneller schwach gekoppelter Supraleiter besitzt Tc=9,20 K.
Berechne:
in meV.
Aufgabe 6: BCS-Kohärenzlänge
Verwende Δ aus Aufgabe 5 und vF=1,40×106 m s−1.
Berechne:
Aufgabe 7: Typklassifikation und oberes kritisches Feld
Ein Material besitzt λ=120 nm und ξ=20,0 nm.
Berechne:
- κ=λ/ξ und die Typklassifikation,
- Bc2=Φ0/(2πξ²).
Aufgabe 8: Gleichstrom-Josephson-Effekt
Ein Kontakt besitzt Ic=2,00 mA. Die Phasendifferenz sei φ=π/6.
Berechne:
Aufgabe 9: Wechselstrom-Josephson-Frequenz
An einem Josephson-Kontakt liegt V=20,0 µV an.
Berechne:
Aufgabe 10: SQUID-Flussperiode
Ein SQUID besitzt eine effektive Schleifenfläche A=100 µm².
Berechne die Magnetfeldänderung, die genau einem Flussquant entspricht:
60. Vollständige Lösungen
Das Magnetfeld fällt auf einer Längenskala von knapp 24 nm exponentiell ab.
Das kritische Feld ist gegenüber seinem Nulltemperaturwert bereits deutlich abgesenkt.
Diese Energiedichte ist die freie Energiedifferenz zwischen normalem und supraleitendem Zustand bei der betrachteten Temperatur.
Wirbeldichte:
Dreieckiger Gitterabstand:
Mit steigendem Feld wächst die Wirbeldichte und der Abstand fällt wie B−1/2.
Umrechnung in Elektronenvolt:
Die volle Paarbruchkante liegt bei 2Δ≈2,791 meV.
Die große Kohärenzlänge zeigt, dass sich die Cooper-Paar-Korrelation über viele Gitterabstände erstreckt.
Ginzburg–Landau-Parameter:
Da κ≫1/√2, handelt es sich um einen Typ-II-Supraleiter.
Oberes kritisches Feld:
Die kurze Kohärenzlänge führt zu einem relativ hohen Bc2.
Der Strom fließt ohne Gleichspannung als kohärenter Paarstrom.
Bereits Mikrovoltspannungen erzeugen Mikrowellenfrequenzen.
Fläche:
Die reale effektive Fläche kann wegen Flussfokussierung von der geometrischen Fläche abweichen.
61. Zusammenfassung
- Supraleitung bedeutet Nullwiderstand, Meissner-Effekt und makroskopische Quantenkohärenz.
- Ein perfekter Leiter und ein Supraleiter besitzen verschiedene Magnetfeldhistorien.
- Abschirmströme verdrängen das Feld auf der London-Eindringtiefe λ.
- Die Kohärenzlänge ξ misst die räumliche Variation des Ordnungsparameters.
- Der Ginzburg–Landau-Ordnungsparameter besitzt Amplitude und Phase.
- Superstrom hängt vom eichinvarianten Phasengradienten ab.
- Der magnetische Fluss ist in Einheiten Φ0=h/(2e) quantisiert.
- Das thermodynamische kritische Feld misst die Kondensationsenergie.
- κ=λ/ξ trennt Typ I und Typ II.
- Typ I besitzt einen Meissner-Zustand bis Bc.
- Typ II besitzt Bc1, Mischzustand und Bc2.
- Bc2 skaliert wie 1/ξ².
- Eine schwache attraktive Wechselwirkung erzeugt die Cooper-Instabilität.
- Konventionelle Paarung wird häufig durch Phononen vermittelt.
- BCS-Paare überlappen stark und sind keine isolierten Moleküle.
- Der BCS-Zustand ist eine kohärente Überlagerung leerer und paarbesetzter Zustände.
- Quasiteilchen besitzen Ek=√(ξk²+Δ²).
- Im schwachen isotropen Grenzfall gilt 2Δ(0)=3,52kBTc.
- Die supraleitende Zustandsdichte besitzt eine Lücke und Kohärenzspitzen.
- Isotopeneffekt und Wärmekapazitätssprung testen die Paarungsphysik.
- Typ-II-Wirbel tragen jeweils ein Flussquant.
- Wirbelbewegung erzeugt elektrisches Feld und Dissipation.
- Pinning erhöht die technische kritische Stromdichte.
- Flux Creep ist thermisch aktivierte Wirbelbewegung.
- Der DC-Josephson-Effekt erfüllt I=Icsinφ.
- Der AC-Josephson-Effekt verknüpft Spannung und Frequenz exakt.
- Shapiro-Stufen quantisieren Spannungen unter Mikrowellenbestrahlung.
- SQUIDs nutzen Flussquantisierung und Phaseninterferenz.
- Mehrbandigkeit, Anisotropie und Unordnung verändern den einfachen BCS-Grenzfall.
- Transport, Magnetisierung, Wärmekapazität, Tunneln und Phasenexperimente müssen gemeinsam ausgewertet werden.
62. Häufig gestellte Fragen
Warum ist ein Supraleiter nicht einfach ein Leiter mit ρ=0?
Weil der Meissner-Effekt eine eigene thermodynamische Phase mit Feldverdrängung zeigt. Ein klassischer perfekter Leiter würde vorhandenen Fluss lediglich einfrieren.
Fließt der Superstrom wirklich ohne Energieverlust?
Ein stationärer Gleichstrom kann verlustfrei sein. Wechselstromverluste, Quasiteilchen, Wirbelbewegung und schwache Kontakte können dennoch Dissipation erzeugen.
Warum tragen Wirbel h/(2e) statt h/e?
Die makroskopische Phase gehört einem Kondensat mit Ladung 2e. Eindeutigkeit der Wellenfunktion quantisiert deshalb den Fluss in Einheiten h/(2e).
Ist ein Cooper-Paar ein Boson?
Als zusammengesetztes Objekt besitzt es ganzzahligen Gesamtspin. Im überlappenden BCS-Regime ist die Beschreibung als unabhängiges verdünntes Bosonengas jedoch unzureichend.
Warum verschwindet der Widerstand trotz Gitter und Defekten?
Der Strom gehört zu einem kohärenten Kondensat. Kleine elastische Streuprozesse können nicht beliebig einzelne Paare in nahe Zustände umverteilen, ohne die kollektive Phase oder die Energielücke zu berücksichtigen.
Warum kann ein Typ-II-Supraleiter im Magnetfeld supraleitend bleiben?
Das Feld dringt als quantisierte Wirbel ein. Zwischen den Kernen bleibt der Ordnungsparameter endlich, solange B<Bc2.
Warum erzeugen bewegte Wirbel Widerstand?
Ein sich bewegender Flussschlauch induziert ein elektrisches Feld. Zudem dissipieren Quasiteilchen im Wirbelkern Energie.
Ist eine hohe kritische Temperatur das wichtigste Anwendungskriterium?
Nicht allein. Kritische Stromdichte, kritische Felder, Pinning, mechanische Eigenschaften, Kontaktierung und Kühlaufwand sind ebenso entscheidend.
Wie misst man die Energielücke?
Tunnelspektroskopie, Mikrowellenabsorption, optische Spektroskopie, Wärmekapazität, NMR und temperaturabhängige Eindringtiefe liefern komplementäre Informationen.
Warum ist der Josephson-Effekt für Metrologie so präzise?
Die Frequenz-Spannungs-Beziehung enthält nur die fundamentalen Konstanten e und h. Sie ist nicht von mikroskopischen Materialparametern abhängig.
63. Ausblick auf Teil 13
Teil 13 behandelt Nanomaterialien und Quantenbegrenzung. Oberflächen-Volumen-Verhältnis, Quantenfilme, Quantendrähte und Quantenpunkte, größenabhängige Bandlücken, Brus-Gleichung, Coulomb- und Exzitoneneffekte, Schmelzpunktdepression, Oberflächenplasmonen, Synthesewege und Größenverteilungen werden systematisch entwickelt.
Literatur und weiterführende Quellen
- M. Tinkham: Introduction to Superconductivity. Dover.
- J. R. Schrieffer: Theory of Superconductivity. CRC Press.
- P. G. de Gennes: Superconductivity of Metals and Alloys. CRC Press.
- C. P. Poole, H. A. Farach, R. J. Creswick & R. Prozorov: Superconductivity. Academic Press.
- J. Clarke & A. I. Braginski: The SQUID Handbook. Wiley-VCH.
Didaktischer Hinweis: London-Theorie, lokale Ginzburg–Landau-Beschreibung, schwache isotrope BCS-Kopplung, ideales Abrikosov-Gitter und sinusförmige Josephson-Strom-Phasen-Beziehung sind kontrollierte Modelle. Reale Supraleiter besitzen Anisotropie, Mehrbandigkeit, starke Kopplung, Defekte, nichtlokale Elektrodynamik, Wirbeldynamik und komplexe Kontaktphysik.
Bild- und Nutzungsnachweis: Das Titelbild und die Abbildungen 1–3 wurden eigens für diesen Blogartikel mit selbst erstelltem Programmcode erzeugt. Es wurden keine Grafiken aus Lehrbüchern oder anderen Publikationen übernommen. Die Abbildungen sind für die Verwendung in diesem monetarisierbaren Blog vorgesehen.
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