Titelbild: Eigene Illustration eines Teilchens im unendlichen Potentialkasten mit quantisierten Eigenfunktionen und Energieniveaus.
Die Schrödinger-Gleichung übernimmt in der Quantenmechanik die Rolle einer Bewegungsgleichung. Sie bestimmt, wie sich ein Quantenzustand mit der Zeit entwickelt. Für zeitunabhängige Potentiale kann sie in eine räumliche Eigenwertgleichung und einen zeitlichen Phasenfaktor zerlegt werden. Die erlaubten Energien ergeben sich dabei nicht durch eine zusätzliche Quantisierungsregel, sondern aus der Differentialgleichung und ihren Randbedingungen.
Das einfachste vollständig lösbare Beispiel ist das Teilchen im eindimensionalen unendlichen Potentialkasten. Ein Teilchen kann sich innerhalb eines Intervalls frei bewegen, darf die beiden undurchdringlichen Wände jedoch nicht überschreiten. Trotz seiner Einfachheit zeigt das Modell fast alle zentralen Strukturen der Quantenmechanik: diskrete Energien, Nullpunktsenergie, normierte Eigenfunktionen, Knoten, Orthogonalität, stationäre Zustände, Superpositionen und den Übergang zum klassischen Grenzfall.
Lernziele
- die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung interpretieren,
- für zeitunabhängige Potentiale Variablentrennung durchführen,
- stationäre Zustände und Energieeigenfunktionen unterscheiden,
- das Potential des unendlichen eindimensionalen Kastens formulieren,
- Randbedingungen anwenden und die erlaubten Wellenzahlen herleiten,
- Eigenfunktionen und Energieniveaus normieren und berechnen,
- Knoten und Wahrscheinlichkeitsdichten analysieren,
- Erwartungswerte und Unschärfen im Kasten bestimmen,
- Superpositionen verschiedener Energiezustände zeitlich entwickeln,
- den klassischen Grenzfall großer Quantenzahlen erklären.
1. Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
Für ein nichtrelativistisches Teilchen lautet die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung:
Der Hamiltonoperator enthält die Gesamtenergie. Für ein Teilchen der Masse m in einem Potential V(r,t):
In einer Dimension:
Die Gleichung ist linear und erster Ordnung in der Zeit. Kennt man ψ(x,0), dann bestimmt sie die spätere unitäre Zeitentwicklung vollständig.
2. Bedeutung der einzelnen Terme
| Term | Bedeutung |
|---|---|
| iℏ∂/∂t | erzeugt die zeitliche Entwicklung des Zustands |
| −ℏ²∇²/(2m) | Operator der kinetischen Energie |
| V(r,t) | potentielle Energie als Funktion von Ort und gegebenenfalls Zeit |
| ψ(r,t) | komplexe Wahrscheinlichkeitsamplitude |
| |ψ(r,t)|² | Wahrscheinlichkeitsdichte einer Ortsmessung |
3. Warum die Gleichung nicht aus der klassischen Mechanik folgt
Die Schrödinger-Gleichung ist ein Grundpostulat der nichtrelativistischen Quantenmechanik. Sie kann motiviert werden, indem man die klassischen Beziehungen:
formal in eine Operatorgleichung überführt. Diese Substitution ist jedoch keine strenge klassische Herleitung. Die Gültigkeit der Gleichung wird letztlich durch ihre experimentellen Vorhersagen bestätigt.
4. Wahrscheinlichkeitserhaltung
Die Schrödinger-Gleichung erhält die Norm eines abgeschlossenen Systems:
Lokale Wahrscheinlichkeitserhaltung wird durch die Kontinuitätsgleichung beschrieben:
mit ρ = |ψ|² und dem Wahrscheinlichkeitsstrom:
5. Zeitunabhängige Potentiale
Ist V nicht explizit von der Zeit abhängig, kann die Wellenfunktion häufig als Produkt angesetzt werden:
Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung und Division durch φT liefert:
Die linke Seite hängt nur von t, die rechte nur von x ab. Beide müssen daher gleich einer Konstanten E sein.
6. Zeitlicher Teil
Die Lösung ist:
Der Faktor besitzt den Betrag 1. Er verändert nur die Phase.
7. Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Der räumliche Teil erfüllt:
Dies ist eine Eigenwertgleichung des Hamiltonoperators. Nur für bestimmte Werte E existieren Lösungen, die alle physikalischen Randbedingungen erfüllen.
Abbildung 1. Für einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator zerfällt die Lösung in eine Energieeigenfunktion und einen zeitabhängigen Phasenfaktor.
8. Stationäre Zustände
Ein Energieeigenzustand besitzt die vollständige Form:
Seine Wahrscheinlichkeitsdichte ist:
Sie ist zeitlich konstant. Daher heißt der Zustand stationär. Das bedeutet nicht, dass „nichts geschieht“: Die komplexe Phase entwickelt sich weiter, und andere Observable können nichttriviale Eigenschaften besitzen.
9. Der unendliche eindimensionale Potentialkasten
Das Potential sei:
Das Teilchen bewegt sich im Inneren frei, kann die Wände jedoch nicht durchdringen. Außerhalb des Kastens muss die Wellenfunktion verschwinden.
10. Randbedingungen
Für die unendlich hohen Wände gilt:
Außerhalb ist φ = 0. Die Wellenfunktion ist an den Wänden stetig. Ihre Ableitung muss beim idealisierten unendlichen Potentialsprung nicht dieselbe Stetigkeit besitzen wie bei einem endlichen Potential.
11. Schrödinger-Gleichung im Inneren
Im Bereich 0 < x < L ist V = 0:
Umgestellt:
mit:
12. Allgemeine Lösung
Die erste Randbedingung φ(0) = 0 ergibt:
Damit:
13. Quantisierung durch die zweite Randbedingung
Aus φ(L) = 0 folgt:
Die triviale Lösung A = 0 beschreibt keinen normierten Zustand. Daher muss gelten:
mit n = 1, 2, 3, …
14. Warum n = 0 nicht erlaubt ist
Für n = 0 wäre k = 0 und die Sinuslösung überall null:
Die Nullfunktion kann nicht normiert werden und beschreibt keinen physikalischen Zustand. Negative n liefern nur ein zusätzliches Vorzeichen und damit denselben physikalischen Zustand bis auf eine globale Phase.
15. Normierte Eigenfunktionen
Die Normierungsbedingung lautet:
Mit:
folgt:
Die Eigenfunktionen sind reell gewählt. Ein zusätzlicher globaler Phasenfaktor wäre physikalisch ohne Wirkung.
16. Energieniveaus
Aus E = ℏ²k²/(2m) und kn = nπ/L folgt:
Alternativ mit h = 2πℏ:
Abbildung 2. Die Randbedingungen erzwingen kn = nπ/L. Die Eigenfunktionen besitzen n − 1 innere Knoten; die Energien wachsen proportional zu n².
17. Nullpunktsenergie
Der niedrigste Zustand besitzt:
Ein Teilchen im Kasten kann nicht die Energie null besitzen. Eine vollständig verschwindende kinetische Energie würde einen exakt bestimmten Impuls p = 0 bedeuten. Gleichzeitig wäre das Teilchen räumlich auf den Kasten beschränkt. Dies ist mit der Orts-Impuls-Unschärfe nicht vereinbar.
18. Skalierung mit Masse und Kastenlänge
- Eine größere Quantenzahl erhöht die Energie quadratisch.
- Ein schwereres Teilchen besitzt kleinere Energieabstände.
- Ein breiterer Kasten besitzt dichter liegende Energieniveaus.
Diese Skalierung erklärt, warum Quantisierung bei Elektronen in nanoskopischen Strukturen deutlich sichtbar ist, bei makroskopischen Gegenständen aber praktisch kontinuierlich erscheint.
Für m = me und L = 1,00 nm:
Die nächsten Energien sind E2 = 4E1 und E3 = 9E1.
19. Orthogonalität
Verschiedene Eigenfunktionen erfüllen:
Sie bilden eine orthonormale Basis für geeignete Funktionen im Intervall mit den Randbedingungen des Kastens.
20. Vollständigkeit
Ein beliebiger zulässiger Anfangszustand im Kasten kann entwickelt werden als:
Die Koeffizienten sind:
Für einen normierten Zustand gilt:
21. Energie einer Superposition
Wird die Energie im Zustand ψ gemessen, erhält man En mit Wahrscheinlichkeit |cn|².
Die Energieverteilung bleibt bei einem zeitunabhängigen Hamiltonoperator konstant, weil sich nur die Phasen der Koeffizienten ändern.
22. Zeitentwicklung eines beliebigen Zustands
Jeder Energieanteil erhält seinen eigenen Phasenfaktor. Relative Phasen verändern sich und können zu einer zeitabhängigen Wahrscheinlichkeitsdichte führen.
23. Superposition zweier Energiezustände
Für:
gilt:
Die Dichte enthält einen Interferenzterm:
Die räumliche Verteilung oszilliert mit der Kreisfrequenz:
24. Knoten
Die Funktion φn besitzt an den Wänden zwei Randknoten und innerhalb des Kastens:
innere Knoten. Mit steigender Energie wächst die Zahl der räumlichen Oszillationen.
25. Wahrscheinlichkeitsdichten
Die Dichte verschwindet an jedem Knoten. Zwischen den Knoten entstehen n gleichartige Dichtemaxima.
Abbildung 3. Die Zahl innerer Knoten steigt mit n. Für große Quantenzahlen oszilliert die Quantendichte schnell um die klassische Gleichverteilung.
26. Erwartungswert des Ortes
Für jeden Energieeigenzustand im Kasten 0 ≤ x ≤ L gilt wegen der Symmetrie:
Das bedeutet nicht, dass das Teilchen sicher in der Mitte liegt. Es bedeutet, dass der statistische Mittelwert vieler Ortsmessungen in der Kastenmitte liegt.
27. Erwartungswert von x² und Ortsunschärfe
Daraus:
Für große n nähert sich Δx dem Wert L/√12 an, der Standardabweichung einer klassischen Gleichverteilung im Intervall.
28. Impulserwartungswert
Für die reellen stationären Eigenfunktionen:
Das Teilchen besitzt dennoch keine scharfe Impulsnull. Die stehende Welle kann als Überlagerung von Komponenten mit Impulsen +ℏkn und −ℏkn verstanden werden.
29. Impulsquadrat und Impulsunschärfe
Da ⟨px⟩ = 0:
Das Produkt ist:
Es liegt für alle n oberhalb von ℏ/2.
30. Wahrscheinlichkeitsstrom im Energieeigenzustand
Für einen einzelnen reellen räumlichen Eigenzustand mit globalem Zeitfaktor gilt:
Dies passt zur Interpretation als stehende Welle: Die Beiträge nach rechts und links sind gleich groß. Eine Superposition verschiedener Zustände kann dagegen einen zeitabhängigen lokalen Strom erzeugen.
31. Energieübergänge und Photonen
Wird ein Übergang zwischen zwei Energieniveaus durch Absorption oder Emission eines Photons verursacht, gilt bei Energieerhaltung:
Welche Übergänge tatsächlich erlaubt oder intensiv sind, hängt zusätzlich vom Wechselwirkungsoperator und von Auswahlregeln ab.
32. Beispiel eines Übergangs
Für ein Elektron im 1,00-nm-Kasten ist E1 ≈ 0,376 eV. Der Übergang n = 1 → n = 2 benötigt:
Die Wellenlänge liegt im nahen Infrarot.
33. Klassischer Grenzfall
Ein klassisches frei bewegliches Teilchen zwischen ideal reflektierenden Wänden verbringt im Zeitmittel gleich viel Zeit in gleich großen räumlichen Intervallen. Seine klassische Ortsdichte ist daher:
Die Quantendichte:
bleibt auch für große n oszillatorisch. Wird jedoch über räumliche Bereiche gemittelt, die viele Oszillationen enthalten, ergibt sich:
Dies ist eine Form des Korrespondenzprinzips.
34. Warum das Spektrum makroskopisch kontinuierlich wirkt
Der Abstand benachbarter Niveaus ist:
Absolut wächst dieser Abstand mit n. Relativ zur Energie:
wird er für große n klein. Außerdem werden die Niveaus bei großer Masse und großem L insgesamt extrem dicht.
35. Ein-, zwei- und dreidimensionale Kästen
Für einen rechteckigen dreidimensionalen Kasten mit Seiten Lx, Ly und Lz separiert die Wellenfunktion:
Die Energie lautet:
In einem kubischen Kasten können verschiedene Kombinationen der Quantenzahlen dieselbe Energie besitzen. Damit tritt Entartung auf.
36. Keine Entartung im eindimensionalen gebundenen Problem
Die gebundenen Energieeigenwerte eines regulären eindimensionalen Potentials sind im Allgemeinen nicht entartet. Im Kasten gibt es für jedes n nur einen unabhängigen räumlichen Eigenzustand bis auf einen konstanten Phasenfaktor.
37. Anwendungen des Kastenmodells
Das Modell ist idealisiert, aber nützlich als erste Näherung für:
- π-Elektronen in konjugierten Molekülen,
- Elektronen in Quantenfilmen, Nanodrähten und Quantenpunkten,
- Translationszustände eingeschlossener Teilchen,
- qualitative Erklärung größenabhängiger optischer Übergänge,
- Basisfunktionen numerischer Quantenrechnungen.
38. Teilchen im Kasten und konjugierte Moleküle
In einer groben Modellvorstellung bewegen sich delokalisierte π-Elektronen entlang einer konjugierten Kohlenstoffkette. Eine längere Kette entspricht einem größeren effektiven Kasten L. Da Energiedifferenzen wie 1/L² abnehmen, verschiebt sich die Absorption längerer konjugierter Systeme zu kleineren Energien und größeren Wellenlängen.
Für quantitative Molekülspektroskopie sind realistischere Potentiale und Elektronenwechselwirkungen erforderlich. Das Kastenmodell liefert jedoch eine wichtige qualitative Verbindung zwischen Molekülgröße und Farbe.
39. Grenzen des Modells
- Die Wände sind idealisiert unendlich hoch.
- Das Teilchen besitzt keine innere Struktur.
- Wechselwirkungen mit anderen Teilchen werden ignoriert.
- Relativistische Effekte fehlen.
- Die Umgebung und Dekohärenz werden nicht berücksichtigt.
- Reale Molekülpotentiale sind nicht rechteckig.
40. Typische Fehler
| Fehler | Korrektur |
|---|---|
| n = 0 als Grundzustand verwenden | n = 0 liefert die Nullfunktion; der Grundzustand besitzt n = 1. |
| Wellenfunktion und Dichte verwechseln | φ kann negativ sein; |φ|² ist nichtnegativ. |
| Energie proportional zu n statt n² setzen | Für den Kasten gilt En ∝ n². |
| Normierungsfaktor 1/√L verwenden | Für Sinus-Eigenfunktionen gilt √(2/L). |
| Stationär mit zeitunabhängiger Wellenfunktion gleichsetzen | ψ enthält den Phasenfaktor e−iEt/ℏ; nur |ψ|² ist konstant. |
| ⟨p⟩ = 0 als scharfen Impuls p = 0 deuten | Die Impulsverteilung besitzt positive und negative Komponenten. |
| Randbedingungen nach Lösung der Energien ignorieren | Gerade die Randbedingungen erzeugen die Quantisierung. |
| Unendlichen und endlichen Potentialtopf gleich behandeln | Im endlichen Topf dringt die Wellenfunktion in die Barriere ein. |
41. Übungsaufgaben
Aufgabe 1: Randbedingungen und Quantenzahl
Prüfe, ob φ(x) = A sin(3πx/L) die Randbedingungen des unendlichen Kastens erfüllt. Welche Quantenzahl besitzt der Zustand?
Aufgabe 2: Verhältnis von Energien
Bestimme E4/E2 und (E4 − E2)/E1.
Aufgabe 3: Grundzustandsenergie eines Elektrons
Berechne die Grundzustandsenergie eines Elektrons in einem Kasten der Breite L = 1,00 nm in Joule und Elektronenvolt.
Aufgabe 4: Übergang n = 1 → n = 2
Berechne für denselben 1,00-nm-Kasten die Energie und Wellenlänge eines Photons, das den Übergang vom Grundzustand zum Zustand n = 2 anregt.
Aufgabe 5: Kastenbreite aus E1
Welche Kastenbreite besitzt ein Elektron, wenn seine Grundzustandsenergie 2,00 eV beträgt?
Aufgabe 6: Ortswahrscheinlichkeit
Berechne für den Grundzustand die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Bereich 0 ≤ x ≤ L/4 zu finden.
Aufgabe 7: Erwartungswerte im Zustand n
Gib für einen beliebigen Energieeigenzustand die Werte von ⟨x⟩, ⟨px⟩ und ⟨px²⟩ an.
Aufgabe 8: Unschärfen im Grundzustand
Berechne für ein Elektron im 1,00-nm-Kasten Δx, Δpx und das Produkt ΔxΔpx im Grundzustand.
Aufgabe 9: Superposition
Ein Zustand sei ψ(x,0) = [φ1(x) + φ2(x)]/√2. Welche Energien können gemessen werden und mit welchen Wahrscheinlichkeiten? Berechne für L = 1,00 nm die Periode der zeitabhängigen Interferenzdichte.
Aufgabe 10: Dreidimensionaler kubischer Kasten
In einem kubischen Kasten gilt E ∝ nx² + ny² + nz². Zeige, dass die Zustände (1,1,2), (1,2,1) und (2,1,1) entartet sind, und bestimme den Entartungsgrad.
42. Vollständige Lösungen
Bei x = 0:
Bei x = L:
Beide Randbedingungen sind erfüllt. Der Zustand besitzt n = 3. Nach der Normierung ist A = √(2/L).
Da En = n²E1:
Die Strahlung liegt im nahen Infrarot.
Mit E1 = 2,00 eV = 3,204 × 10−19 J:
Im Grundzustand:
Mit ∫sin²(ax)dx = x/2 − sin(2ax)/(4a):
Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 9,08 Prozent.
Der Impulsmittelwert verschwindet, obwohl das Impulsquadrat und damit die kinetische Energie positiv sind.
Für n = 1 und L = 1,00 nm:
Dies entspricht etwa 1,14·ℏ/2 und erfüllt die Heisenbergsche Unschärferelation.
Die möglichen Energien sind E1 und E2. Beide treten mit Wahrscheinlichkeit 1/2 auf.
Die Interferenzdichte oszilliert mit:
Die Periode ist:
Für L = 1,00 nm und ΔE = 3E1:
Für alle drei Kombinationen gilt:
Die Energie ist daher identisch. Es existieren drei verschiedene Zustände mit derselben Energie. Der Entartungsgrad beträgt 3.
43. Zusammenfassung
- Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung bestimmt die unitäre Zeitentwicklung.
- Für zeitunabhängige Potentiale führt Variablentrennung zur stationären Eigenwertgleichung.
- Stationäre Zustände besitzen zeitlich konstante Wahrscheinlichkeitsdichten.
- Im unendlichen Kasten erzwingen die Randbedingungen φ(0) = φ(L) = 0.
- Die erlaubten Wellenzahlen sind kn = nπ/L.
- Die normierten Eigenfunktionen sind √(2/L)sin(nπx/L).
- Die Energien wachsen als n²π²ℏ²/(2mL²).
- Der Grundzustand besitzt eine positive Nullpunktsenergie.
- Der Zustand n besitzt n − 1 innere Knoten.
- Ein beliebiger Zustand ist eine Superposition der Energieeigenfunktionen.
- Relative Phasen verschiedener Energieanteile erzeugen zeitabhängige Interferenz.
- Bei großen Quantenzahlen nähert sich die räumlich gemittelte Dichte dem klassischen Ergebnis.
44. Häufig gestellte Fragen
Warum ist die Energie quantisiert?
Die Differentialgleichung allein liefert zunächst kontinuierliche Wellenzahlen. Erst die beiden Randbedingungen erlauben nur kL = nπ. Die Energiequantisierung entsteht daher aus dem Zusammenspiel von Gleichung und räumlicher Begrenzung.
Warum darf die Wellenfunktion negativ sein?
ψ ist eine Wahrscheinlichkeitsamplitude. Negative oder komplexe Werte sind erlaubt. Messwahrscheinlichkeiten folgen aus |ψ|².
Ist das Teilchen zwischen den Wänden lokalisiert?
Es ist auf das Intervall 0 ≤ x ≤ L beschränkt, besitzt innerhalb dieses Bereichs aber im Allgemeinen keine feste Position.
Prallt das Teilchen wie eine klassische Kugel an der Wand ab?
Das Kastenmodell wird durch Randbedingungen und stehende Wellen beschrieben. Die klassische Vorstellung diskreter Stöße ist keine vollständige quantenmechanische Beschreibung.
Warum ist ⟨p⟩ = 0, obwohl E > 0?
Die Impulsverteilung ist symmetrisch zwischen positiven und negativen Impulsen. Der Mittelwert verschwindet, aber ⟨p²⟩ bleibt positiv.
Ist ein Energieeigenzustand wirklich zeitunabhängig?
Die vollständige Wellenfunktion erhält einen zeitabhängigen Phasenfaktor. Nur die Wahrscheinlichkeitsdichte und Erwartungswerte zeitunabhängiger Operatoren ohne explizite Zeitabhängigkeit bleiben konstant.
45. Ausblick auf Teil 4
Teil 4 behandelt endliche Potentialtöpfe und Potentialbarrieren. Im Unterschied zum unendlichen Kasten verschwindet die Wellenfunktion außerhalb eines endlichen Topfes nicht sofort, sondern dringt exponentiell in klassisch verbotene Bereiche ein. Daraus entstehen gebundene Zustände mit endlicher Zahl, Tunnelwahrscheinlichkeiten und Anwendungen von der Rastertunnelmikroskopie bis zu chemischen Reaktionen.
Literatur und weiterführende Quellen
- P. Atkins, J. de Paula & J. Keeler: Atkins’ Physical Chemistry. Oxford University Press.
- D. A. McQuarrie & J. D. Simon: Physical Chemistry: A Molecular Approach. University Science Books.
- P. W. Atkins & R. S. Friedman: Molecular Quantum Mechanics. Oxford University Press.
- D. J. Griffiths & D. F. Schroeter: Introduction to Quantum Mechanics. Cambridge University Press.
- I. N. Levine: Quantum Chemistry. Pearson.
Didaktischer Hinweis: Der unendliche Potentialkasten ist ein idealisiertes Modell. Seine mathematische Klarheit macht jedoch sichtbar, wie Randbedingungen diskrete Spektren erzeugen. Reale Systeme besitzen endliche Barrieren, Wechselwirkungen und meist mehr als eine Raumdimension.
Bild- und Nutzungsnachweis: Das Titelbild und die Abbildungen 1–3 wurden eigens für diesen Blogartikel mit selbst erstelltem Programmcode erzeugt. Es wurden keine Grafiken aus Lehrbüchern oder anderen Publikationen übernommen. Die Abbildungen sind für die Verwendung in diesem monetarisierbaren Blog vorgesehen.
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