Optionen, Futures und andere Derivate

Einleitung

Finanzderivate sind Finanzinstrumente, deren Wert sich von zugrunde liegenden Vermögenswerten wie Aktien, Anleihen oder Währungen ableitet[1]. Sie werden vielseitig eingesetzt, um Risiken abzusichern oder auf Marktbewegungen zu spekulieren. Der Markt für diese Derivate ist in den letzten Jahrzehnten stark gewachsen und hat eine zentrale Rolle in modernen Finanzmärkten eingenommen. Die vorliegende Arbeit gibt einen umfassenden Überblick über Optionen, Futures und andere Derivate, erläutert Funktionsweisen, Anwendungsgebiete und Bewertungsmethoden dieser Instrumente und geht auch auf fortgeschrittene theoretische Modelle sowie historische Erfahrungen mit Derivaten ein.

Zunächst werden Grundlagen zu Futures und Forwards und deren Einsatz in der Absicherung behandelt. Darauf aufbauend folgt eine ausführliche Darstellung der Optionsmärkte, beginnend bei Standard-Aktienoptionen und Handelsstrategien bis hin zu komplexen Bewertungsmodellen (Binomialmodelle, Wiener-Prozesse und Itōs Lemma, Black-Scholes-Merton-Modell). Ferner werden spezielle Themen wie Mitarbeiteroptionen, Index- und Währungsoptionen, Volatilitätssmile und Optionspreissensitivitäten (Griechen) erläutert. Anschließend widmet sich die Arbeit weiteren Derivaten: Zinsderivaten (Swaps, Zins-Futures, Caps/Floors, Zinsstrukturmodelle), Kreditderivaten, exotischen Optionen sowie Wetter-, Energie- und Versicherungsderivaten. Abschließend werden numerische Verfahren und modelltheoretische Aspekte (risikoneutrale Martingalmaße, Marktmodelle) diskutiert, bevor anhand berühmter Fälle großer Verluste mit Derivaten die praktischen Lehren gezogen werden.

Der Fokus liegt sowohl auf der praxisorientierten Beschreibung der Instrumente und Strategien als auch auf der Darstellung der finanztheoretischen Grundlagen. Alle Abschnitte sind mit wissenschaftlichen Quellen untermauert, um den aktuellen Wissensstand abzubilden und den wissenschaftlichen Anspruch dieser Arbeit zu gewährleisten. Im Folgenden beginnt die Untersuchung mit den Terminmärkten und der Verwendung von Futures zur Absicherung.

Futures-Märkte

Futures (Terminkontrakte) sind standardisierte, an Börsen gehandelte Vereinbarungen, in der Zukunft ein bestimmtes Gut (Basiswert) zu einem heute festgelegten Preis zu kaufen oder zu verkaufen. Diese Terminkontrakte werden an speziellen Terminbörsen (wie der Eurex in Europa oder der CME in den USA) gehandelt[2]. Ein zentrales Merkmal der Futures-Märkte ist das Clearing durch eine Clearingstelle: Das Clearinghaus tritt als Mittler zwischen Käufer und Verkäufer jedes Kontrakts und garantiert die Erfüllung, wodurch das Gegenparteiausfallrisiko stark reduziert wird[3].

Futures sind vollständig standardisiert. Die Kontrakte legen genau die Menge, Qualität und den Lieferzeitpunkt des Basiswertes fest. Beispielsweise umfasst ein Gold-Future an der New York Mercantile Exchange immer 100 Feinunzen Gold mit definierter Reinheit und festem Liefermonat[4]. Diese Standardisierung fördert die Liquidität, da alle Marktteilnehmer identische Kontrakte handeln. Preisnotierungen an der Terminbörse beziehen sich dabei stets auf eine bestimmte Maßeinheit des Basiswerts (z.B. Preis pro Feinunze Gold oder Indexpunkt) und lassen sich in einen Kontraktpreis umrechnen[5].

Ein weiteres wichtiges Charakteristikum von Futures-Märkten ist das Margining: Beide Vertragspartner müssen eine Sicherheitsleistung (Margin) hinterlegen, um eine Position zu eröffnen[6]. Es gibt Initial Margin (Einschuss) für den Positionsaufbau und Maintenance Margin zur Aufrechterhaltung der Position[7]. Die Margin, typischerweise nur wenige Prozent des Kontraktwertes, schützt gegen Verluste und wird täglich an die Marktbewegungen angepasst (Mark-to-Market). Diese tägliche Abrechnung bedeutet praktisch, dass Futures ökonomisch wie täglich neu geschlossene Forwards behandelt werden. Entsteht über den Tag ein Gewinn oder Verlust, wird die Margin entsprechend aufgestockt oder teils freigegeben.

Durch das Zusammenspiel von Clearing und Margining sind Futures-Märkte sehr sicher und effizient. Gleichzeitig ermöglicht der Hebel – da nur ein Bruchteil des Kontraktwerts als Margin gebunden ist – hohe Gewinn- oder Verlustchancen. Ein Future ist somit ein Hebelinstrument; der Hebel ergibt sich aus Kontraktwert geteilt durch die hinterlegte Margin[8][9]. Beispielsweise hat ein DAX-Future (25 € pro Punkt, bei 5000 Punkten also 125.000 € Kontraktwert) mit 9.000 € Margin einen Hebel von etwa 13,9[10]. Eine 1% Veränderung des Index bewirkt dann ca. 13,9% Änderung auf das eingesetzte Kapital.

Absicherungsstrategien mit Futures

Ein Hauptzweck der Futures-Märkte ist die Absicherung (Hedging) von Preisrisiken. Viele Teilnehmer an Terminbörsen sind Hedger, die bestehende Risiken – etwa schwankende Rohstoffpreise, Wechselkurse oder Aktienmarktindizes – durch Gegenpositionen in Futures reduzieren wollen[11]. Eine perfekte Absicherung würde das Risiko vollständig eliminieren, ist in der Praxis aber selten erreichbar[12]. Daher konzentrieren sich Absicherungsstrategien darauf, das Risiko so weit wie möglich zu reduzieren, auch wenn eine geringfügige Restunsicherheit (Basisrisiko) bestehen bleibt[13].

Grundprinzip einer Hedge-Strategie mit Futures ist, eine Futures-Position einzunehmen, die Verlust und Gewinn des abgesicherten Geschäfts ausgleicht[14]. Ein Beispiel: Ein Unternehmen, das bei steigenden Rohstoffpreisen Verluste erleidet, würde eine Short-Position in Futures auf diesen Rohstoff eingehen. Steigt der Preis, führt die Short-Futures-Position zu einem Gewinn, der den Verlust im physischen Geschäft kompensiert; fällt der Preis, entsteht aus der Futures-Position ein Verlust, der jedoch durch günstigere Beschaffung im Spotmarkt ausgeglichen wird[15][16]. Eine solche Short Hedge (Verkaufsabsicherung) mit Futures ist sinnvoll, wenn man einen Vermögenswert besitzt oder bald verkaufen muss und fallende Preise befürchtet[17] (z.B. ein Landwirt, der eine zukünftige Ernte gegen Preisrückgänge absichert). Umgekehrt würde eine Long Hedge eingesetzt, wenn man zukünftige Käufe gegen steigende Preise schützen möchte.

Wesentliche Aspekte der Absicherung mit Futures sind die Auswahl des passenden Kontrakts und die Bestimmung der optimalen Kontraktzahl (Hedge Ratio). Oft wird derjenige Futures-Kontrakt gewählt, dessen Basiswert und Laufzeit den Risikoquellen am nächsten kommen. Ist kein exakt passender Future verfügbar, betreibt man Cross-Hedging, indem man einen hoch korrelierten Futures-Basiswert wählt. Das Basisrisiko ergibt sich aus der möglichen Divergenz zwischen Kassa- und Futurespreisentwicklung sowie eventuellen Qualitäts- oder Laufzeitunterschieden. Die Minimum-Varianz-Hedge-Ratio berechnet man oft mittels statistischer Schätzungen (z.B. Regression der Preisänderungen), um die Volatilität des gehedgten Gesamtwerts zu minimieren.

Hedging mit Futures erfordert zudem laufende Überwachung: Da die Kassa- und Futurespreise nicht perfekt parallel laufen, kann es nötig sein, die Position anzupassen (Rolling der Futures bei Ablauf, Korrektur der Hedge-Ratio etc.). Dennoch bieten Futures-Hedges eine effiziente und kostengünstige Möglichkeit, Risiken zu steuern, da Futures sehr liquide sind und – im Gegensatz zu Versicherungslösungen – keine Prämien gezahlt werden müssen (die Margin ist ja kein Kostenbestandteil, sondern Sicherheitsleistung).

Zinssätze

Zinssätze spielen im Terminmarkt und bei der Bewertung von Derivaten eine zentrale Rolle, da sie für Abzinsung und Finanzierungskosten verantwortlich sind. In Derivatekontrakten werden verschiedene Zinsbegriffe verwendet: nominale Jahreszinsen mit bestimmten Zinszählweisen (z.B. ACT/365 oder 30/360), effektive Zinsen für einen Zeitraum, und häufig auch stetige Verzinsung in finanzmathematischen Modellen. So entspricht ein stetig verzinster Zinssatz r pro Jahr einem Faktor $e^{r\cdot T}$ für T Jahre, während z.B. jährliche Verzinsung mit unterjähriger Kuponzahlung auf äquivalente effektive Raten umgerechnet werden muss.

Für die Bewertung von Forwards und Optionen wird meist mit risikofreien Zinssätzen (etwa Geldmarkt- oder Swapzinssätzen) gearbeitet. Wichtig ist dabei die Zinsstrukturkurve (Yield Curve), die für jede Laufzeit einen eigenen Zinssatz liefert. Aus Spot-Zinssätzen (Zero Rates) können Terminzinssätze (Forward Rates) abgeleitet werden, welche zukünftige risikofreie Verzinsung für bestimmte Zeiträume repräsentieren. Beispiel: Wenn heute der 1-Jahres-Zins und der 2-Jahres-Zins bekannt sind, lässt sich daraus der implizite 1-Jahres-Terminzinssatz für in einem Jahr (für das zweite Jahr) ermitteln. Dieser Terminzinssatz ist der Zinssatz, bei dem eine Anlage vom Jahr 1 bis 2 die gleiche Rendite erzielt wie eine zweijährige Anlage, und kann aus den Zero Rates berechnet werden.

Ein praktischer Aspekt in Terminmärkten ist, dass Kassapreis und Terminkontraktpreis durch das Zinsniveau verknüpft sind. Oft wird der Begriff Cost of Carry verwendet: Er umfasst die Haltekosten eines Basiswerts bis zur Fälligkeit, insbesondere Finanzierungskosten (Zinsen) und Lager- oder Versicherungskosten, abzüglich etwaiger Erträge (z.B. Dividenden oder Lagergutschriften). Zinsen sind ein wesentlicher Bestandteil dieser Haltekosten – sie stellen Opportunitätskosten dar, weil Kapital im Basiswert gebunden ist, das alternativ verzinslich angelegt werden könnte[18]. Damit erklärt sich, warum Terminpreise bei längerer Laufzeit tendenziell über dem aktuellen Kassapreis liegen: Der Future-Preis beinhaltet die aufgelaufenen Finanzierungskosten und sonstigen Haltekosten bis zum Liefertermin. Dieses Prinzip wird im nächsten Abschnitt zur Bestimmung von Forward- und Futures-Preisen quantifiziert.

Bestimmung von Forward- und Futures-Preisen

Der Preis eines Forward- oder Futures-Kontrakts (Terminpreis) ergibt sich unter Abwesenheit von Arbitrage aus dem Kassapreis plus den Cost-of-Carry bis zur Fälligkeit. Formal gilt in einfacher Form:

wobei $S_0$ der heutige Kassapreis ist, $r$ der risikofreie Zinssatz (Finanzierungskosten), Kosten z.B. Lager- oder Versicherungskosten und Erträge kontinuierliche Erträge wie Dividenden oder Convenience Yield (bei Rohstoffen).

In vielen Fällen lässt sich der Terminpreis näherungsweise berechnen als Kassapreis plus Terminspread. Der Terminspread entspricht dabei den Haltekosten abzüglich Erträge. Ein quantitatives Beispiel: Angenommen der Spotpreis eines Rohstoffs beträgt 400 €, der jährliche Zinssatz 5%, die Versicherungsprämie 3 € pro Jahr und Lagerkosten 2 € pro Jahr. Die gesamten Haltekosten für ein Jahr betragen dann 20 € Zins + 3 € Versicherung + 2 € Lager = 25 €[19]. Entsprechend würde ein Forward mit Fälligkeit in einem Jahr ohne laufende Erträge etwa zu 425 € gehandelt (400 € + 25 €)[20]. Allgemein nähert sich der Terminpreis mit abnehmender Restlaufzeit immer mehr dem Kassapreis an, da die aufzinsenden Haltekosten gegen Null gehen[21].

Abweichungen zwischen dem theoretischen Terminpreis und dem Kassapreis eröffnen Arbitragemöglichkeiten. Beispielsweise würde ein Future, der deutlich über dem theoretischen Preis notiert, Arbitrageure anziehen, die den Basiswert heute kaufen (gegen Finanzierung) und den Future verkaufen – die risikolose Gewinnmöglichkeit drückt den Future-Preis wieder nach unten. Umgekehrt begrenzen Arbitragegeschäfte Abweichungen nach unten. Daher können sich Future- und Kassapreis nur innerhalb enger Grenzen unterscheiden und nicht dauerhaft auseinanderlaufen[22][23].

In der Praxis können jedoch Besonderheiten des Underlyings leichte Abweichungen verursachen, etwa Liefer- und Qualitätskosten, Liquiditätsfaktoren oder Steueraspekte. Beispielsweise enthalten Future-Preise auf verzinsliche Wertpapiere (Anleihen) einen Konvexitätsaufschlag gegenüber theoretischen Forwardpreisen, da die tägliche Wiederanlage der Variation Margin bei Zinsänderungen zu leichten Bewertungsunterschieden führt (siehe Abschnitt Anpassung: Konvexität weiter unten). Dennoch bilden die oben beschriebenen Kostengrößen (Zins, Lager, Erträge) den Kern der Forward- und Futures-Preisbildung.

Besondere Fälle: Hat der Basiswert laufende Erträge (z.B. Dividendenrendite $q$ bei Aktienindizes), vermindern diese den Terminpreis: $F_0 \approx S_0 e^{(r - q)T}$. Bei nicht lagerfähigen Gütern oder Dienstleistungen ist eine strikte Preiskopplung oft nicht möglich – es gibt dann keine echten Forwards, oder sie enthalten Aufschläge für Anbieterprämien. Für Devisen ergibt sich die sogenannte Zinsparität: $F_{0}^{\text{Währung}} = S_0 \cdot e^{(r_{\text{Inland}} - r_{\text{Ausland}})T}$, d.h. der Forward-Wechselkurs ergibt sich aus Spotkurs und Zinsdifferenz der beiden Währungen (siehe Optionen auf Währungen).

Zins-Futures

Neben Waren und Aktienindizes werden an Terminbörsen auch Futures auf Zinssätze gehandelt. Zins-Futures beziehen sich zumeist auf standardisierte Schuldinstrumente oder Geldmarktsätze. Beispiele sind der Euro-Bund-Future (ein Future auf eine fiktive 10-jährige deutsche Bundesanleihe) oder Kurzfrist-Zins-Futures wie der 3-Monats-Euribor- oder Eurodollar-Future. Letztere dienen zur Absicherung bzw. Spekulation auf zukünftige Kurzfristrenditen. Ihr Preis wird meist in einem speziellen Quotenformat dargestellt: 100 minus Zinssatz.

Konkret bedeutet dies: Ein gehandelter Preis von z.B. 97,00 für einen 3-Monats-Eurodollar-Future impliziert einen erwarteten 3-Monats-LIBOR-Satz von 3,00% für die entsprechende zukünftige Periode[24]. Dieser Quotierungsmechanismus (Preis = 100 − Zinssatz) sorgt dafür, dass steigende Zinserwartungen zu fallenden Future-Preisen führen und umgekehrt. Die Kontrakte haben einen bestimmten Notional (bei Eurodollar-Futures z.B. 1 Million USD) und bewegen sich bei 0,01 Prozentpunkt Änderung um einen festen Geldbetrag (25 USD pro Basispunkt beim Eurodollar-Future)[25]. Dadurch lassen sich Zinsänderungsrisiken sehr fein steuern.

Zins-Futures ermöglichen vielfältige Strategien: Banken nutzen sie, um sich gegen Zinsänderungsrisiken ihrer Kreditportfolios abzusichern (z.B. gegen steigende Refinanzierungskosten durch Short-Positionen in Geldmarktfutures). Unternehmen können zukünftige Kreditzinsen fixieren (synthetisch über Long-Positionen in Zins-Futures, was steigende Marktzinsen kompensiert). Zudem werden Zins-Futures eingesetzt, um auf geldpolitische Entscheidungen zu spekulieren, da ihre Preise stark auf Erwartungen an Zentralbankzinsänderungen reagieren.

Eine Besonderheit bei einigen Zins-Futures ist die Lieferung eines fiktiven Instruments: Beim Eurodollar-Future erfolgt keine physische Lieferung, sondern eine barwertige Ausgleichszahlung basierend auf dem tatsächlich fixierten LIBOR zum Kontraktende (Cash Settlement). Beim Bund-Future hingegen kann physisch geliefert werden, wobei ein Lieferbasket an zulässigen Anleihen besteht – dies erfordert die Conversion Factor-Rechnung, um unterschiedlich verzinste Anleihen vergleichbar zu machen. Arbitrage zwischen Kassa-Anleihemarkt und Futures stellt sicher, dass der Bund-Future-Preis konsistent mit den Anleihepreisen und dem Zinsniveau bleibt.

Zusammenfassend sind Zins-Futures ein zentrales Werkzeug für das Zinsrisikomanagement, da sie liquide, standardisiert und effizient preislich mit dem Kassazinsmarkt verknüpft sind. Ihr Preis spiegelt die kollektive Markterwartung zukünftiger Zinssätze wider, und über den Quotierungsmechanismus 100 - Zinssatz lassen sich diese Erwartungen unmittelbar ablesen[24].

Swaps

Swaps sind Derivate, bei denen zwei Parteien Zahlungsströme austauschen (to swap = tauschen). Der häufigste Typ ist der Zinsswap: Hierbei vereinbaren zwei Parteien, zu bestimmten Terminen Zinszahlungen auf einen festgelegten Nominalbetrag auszutauschen[26]. Typischerweise zahlt eine Partei einen Festzins (z.B. 2% p.a. fix auf 5 Mio. € Nominale) und erhält im Gegenzug einen variablen Zinssatz (z.B. 6-Monats-Euribor + Marge) von der anderen Partei[27]. Durch den Swap können also feste gegen variable Zinsbindungen getauscht werden, ohne dass der Nominalbetrag selbst fließt (nur Zinsdifferenzen werden gezahlt). Unternehmen nutzen Zinsswaps etwa, um ihre Zinsstruktur anzupassen – z.B. ein Unternehmen mit variabel verzinstem Kredit kann via Swap variable gegen feste Zahlungen tauschen, um sich gegen steigende Zinsen abzusichern.

Ein Zinsswap lässt sich verstehen als Bündel von Forward Rate Agreements (FRAs): Der Festzins entspricht dem am Markt gehandelten Swap-Satz, bei dem der anfängliche Marktwert des Swaps null ist (Barwert der festen Zahlungen = Barwert der erwarteten variablen Zahlungen). Die Bewertung eines Zinsswaps erfolgt mittels Abzinsung der Cashflows: Der Wert für den Festzahler = Barwert(variable Zahlungen) - Barwert(feste Zahlungen). Direkt nach Abschluss ist dieser Wert null. Im Zeitverlauf schwankt der Marktwert abhängig von der Entwicklung der Zinskurve. Swaps werden typischerweise OTC gehandelt und gemäß ISDA-Standardverträgen dokumentiert.

Neben Zinsswaps gibt es zahlreiche Varianten von Swaps: - Währungs- oder FX-Swaps: Austausch von Zinszahlungen und Nominalbetrag in zwei verschiedenen Währungen. Beispielsweise zahlt Partei A feste USD-Zinsen auf einen USD-Betrag und erhält von B feste EUR-Zinsen auf einen EUR-Betrag, am Ende werden die Nominale zurückgetauscht. Solche Swaps dienen zur Absicherung von Fremdwährungsfinanzierungen. - Basiszins-Swaps: Beide Seiten zahlen variable Zinsen, jedoch z.B. auf Basis unterschiedlicher Indizes (z.B. 3-Monats-Euribor gegen 6-Monats-Euribor + Spread). Dies hilft, verschiedene Referenzzinssätze miteinander zu tauschen. - Total Return Swaps (TRS): Eine Seite zahlt die Totalrendite (Zins + Wertänderung) eines Referenzaktivums (z.B. Aktienindex oder Kreditportfolio) und erhält im Gegenzug einen festen oder variablen Satz. TRS erlauben es, z.B. Kreditrisiken oder Aktienmarktengagements zu übertragen, ohne das Underlying direkt zu verkaufen. - Credit Default Swaps (CDS): Spezialform, gehört streng genommen zu Kreditderivaten – der Sicherungsnehmer zahlt regelmäßige Prämien und erhält vom Sicherungsgeber eine Ausgleichszahlung im Falle eines Kreditereignisses (z.B. Insolvenz eines Referenzschuldners).

Ein wichtiger Einsatz von Swaps ist das Asset-Liability-Management von Banken. Durch Swaps können Banken ihre Zinsbindungsfristen der Aktiva (z.B. Kredite) und Passiva (Einlagen) ausgleichen. Unternehmen nutzen Währungsswaps, um sich Fremdwährungskredite günstiger zu verschaffen (Cross Currency Swaps erlauben Arbitrage zwischen unterschiedlichen Kreditmärkten).

Swaps haben sich seit den 1980er Jahren enorm verbreitet. Anders als Futures werden sie OTC abgeschlossen, was Flexibilität in Laufzeit und Beträgen bietet, jedoch Kontrahentenrisiken mit sich bringt. Zentraler Clearing von Standard-Swaps (z.B. via Clearingstellen für bestimmte Zinsswaps) und Besicherung (Margin Agreements) haben in jüngerer Zeit diese Risiken reduziert.

Optionsmärkte

Optionen geben dem Inhaber das Recht, nicht jedoch die Pflicht, ein bestimmtes Underlaying (Basiswert) zu einem vorher festgelegten Preis (Strike) entweder zu kaufen (Call-Option) oder zu verkaufen (Put-Option). Der Käufer einer Aktienoption erwirbt beispielsweise das Recht, eine bestimmte Anzahl von Aktien zu einem fest definierten Preis innerhalb einer bestimmten Laufzeit (bei amerikanischer Option jederzeit bis Verfall; bei europäischer Option nur am Fälligkeitstag) zu kaufen oder zu verkaufen[28]. Für dieses Recht bezahlt der Optionskäufer eine Prämie an den Stillhalter (Optionsverkäufer). Der Verkäufer der Option übernimmt die Verpflichtung, im Falle der Ausübung die Aktien zum Basispreis abzunehmen (bei Put) oder zu liefern (bei Call)[29]. Im Gegenzug erhält er die Optionsprämie, die seine Einnahme darstellt[29].

Optionen werden an speziellen Optionbörsen gehandelt (z.B. Cboe in Chicago, Eurex für Deutschland/Europa). Dort existieren standardisierte Aktienoptionen auf viele große Aktien sowie Indexoptionen auf wichtige Börsenindizes. In Deutschland werden Aktienoptionen ausschließlich an der Terminbörse Eurex gehandelt – im Unterschied zu sogenannten Optionsscheinen, die außerbörslich von Banken emittiert werden[30]. Die Standardisierung umfasst typischerweise 100 Aktien pro Kontrakt (in den USA) oder 100/50 Aktien (Eurex) und bestimmte Ausübungspreise sowie festgelegte Verfalltermine (meist monatlich oder quartalsweise). Durch diesen Börsenhandel entsteht Liquidität und Transparenz; Marktteilnehmer können leicht Positionen aufbauen oder glattstellen.

Die Optionsmärkte bieten vielfältige strategische Möglichkeiten: Investoren können Calls kaufen, um mit begrenztem Kapital von Kurssteigerungen eines Basiswertes zu profitieren (der Verlust ist auf die Prämie beschränkt, das Gewinnpotenzial im Erfolgsfall jedoch theoretisch unbegrenzt). Puts werden gekauft, um von fallenden Kursen zu profitieren oder als Absicherung (eine Put-Option auf ein Aktienportfolio wirkt wie eine Versicherung gegen Kurseinbrüche). Stillhalter von Calls nehmen eine Verpflichtung ein, für die sie eine Prämie erhalten – sie profitieren, wenn der Basiswert nicht stark steigt (die Option verfällt dann wertlos und die Prämie bleibt Gewinn), tragen aber das Risiko, bei starkem Anstieg liefern zu müssen (ungedeckte Calls haben theoretisch unbegrenztes Verlustpotenzial). Entsprechend erfordert das Stillhalten ein Margin-Hinterlegen analog zu Futures, um die Erfüllung sicherzustellen.

Eine wichtige grundlegende Beziehung in Optionsmärkten ist die Put-Call-Parität (für europäische Optionen ohne Dividenden). Sie besagt: Call-Preis - Put-Preis = Kassakurs - Barwert(Strikpreis)[31]. Diese feste Preisrelation zwischen Put und Call auf denselben Basiswert mit gleicher Laufzeit und Strike wird durch Arbitrage erzwungen. Ist z.B. ein Call überteuert relativ zum Put, Kassawert und Zinssatz, könnte man den Call verkaufen, den Put kaufen und den Basiswert kaufen (bzw. entsprechende Kombination), um einen risikolosen Gewinn zu erzielen. Die Put-Call-Parität liefert nicht nur eine Konsistenzprüfung für Marktpreise, sondern ermöglicht auch die Konstruktion synthetischer Positionen – etwa lässt sich ein synthetischer Forward durch Kauf eines Calls und Verkauf eines Puts (auf denselben Strike) herstellen.

Eigenschaften von Aktienoptionen

Aktienoptionen weisen bestimmte grundlegende Eigenschaften und Bewertungsrelationen auf:

• Einflussfaktoren auf den Optionspreis: Der Wert einer Option hängt von mehreren Variablen ab: dem aktuellen Aktienkurs $S$, dem Ausübungspreis $K$, der Restlaufzeit $T$, der Volatilität $\sigma$ des Basiswerts, dem risikofreien Zinssatz $r$ und etwaigen Dividenden des Basiswerts. Eine Call-Option wird umso wertvoller, je höher $S$ (steigt mit Basiswert), je niedriger $K$ (günstiger Ausübungspreis), je länger die Laufzeit (mehr Zeitwert), je höher die Volatilität (größeres Bewegungspotenzial) und je höher $r$ (der Gegenwartswert künftiger Zahlung $K$ sinkt). Für eine Put-Option wirken $S$ und $r$ entgegen: sinkender Aktienkurs und niedrigerer Zinssatz erhöhen den Put-Wert.
• Obere und untere Schranken: Der Optionspreis unterliegt gewissen Grenzen. Beispielsweise kann der Preis einer Kaufoption nie höher sein als der aktuelle Aktienkurs (ein Call berechtigt maximal zum Erwerb der Aktie, er darf nicht teurer sein als der direkte Aktienkauf). Ebenso besitzt ein europäischer Call ohne Dividendenzahlung stets einen Wert über seinem inneren Wert, aber unter dem Aktienkurs. Der innere Wert ist definiert als $\max(S - K, 0)$ (bei Calls) bzw. $\max(K - S, 0)$ (bei Puts). Optionen haben zusätzlich Zeitwert, solange $T>0$ – d.h. der Marktpreis liegt normalerweise über dem aktuellen inneren Wert, weil noch zukünftige Kursbewegungen möglich sind.
• Frühzeitige Ausübung: Amerikanische Optionen können vor Fälligkeit ausgeübt werden. Bei Calls auf Aktien ohne Dividende ist eine vorzeitige Ausübung in der Regel nicht optimal, da man durch Halten der Option mehr Vorteil hat (man bewahrt sich Flexibilität und zahlt den Ausübungspreis später). Es gilt: Eine amerikanische Kaufoption ohne Dividenden sollte vorzeitig nicht ausgeübt werden – ihr Wert entspricht dem europäischen Wert (kein Early Exercise Vorteil). Anders bei Puts oder bei Call-Optionen mit Dividenden: Hier kann es rational sein, frühzeitig auszuüben. Beispielsweise kann ein tief im Geld liegender Put sinnvoll vor Fälligkeit ausgeübt werden, wenn Zinsen und Restlaufzeit gering sind, um den restlichen Zeitwert des Geldes aus dem Strike zu realisieren.
• Dividenden senken ceteris paribus den Wert von Calls und erhöhen den Wert von Puts (weil der Aktienkurs nach Dividenden ex Dividende fällt). Die Modelle (siehe Black-Scholes-Formel) berücksichtigen Dividenden meist durch einen kontinuierlichen Dividendenzins $q$ oder durch Abzüge im Kurs.
• Symmetrie: Die Put-Call-Parität wurde bereits erwähnt. Weitere Relationen sind etwa, dass zwei gleiche Calls mit verschiedenen Strikes (bzw. Puts) bestimmte Wertrelationen einhalten (der Call mit niedrigerem Strike ist teurer oder gleich teuer wie der mit höherem Strike, etc.).

Diese Eigenschaften wurden durch theoretische Überlegungen und Arbitrageargumente hergeleitet und bilden die Grundlage für Optionsbewertungen und -strategien. Gerade das Verständnis der Einflussfaktoren (wie Volatilität oder Restlaufzeit) ist wichtig, um das Verhalten von Optionspreisen zu antizipieren. Zum Beispiel nimmt der Zeitwertverlust (Theta) einer Option gegen Ende der Laufzeit typischerweise zu – Optionen verlieren kurz vor Fälligkeit rapide an Wert, wenn sie aus dem Geld sind, wohingegen im Geld Optionen immer näher an ihren inneren Wert rücken.

Handelsstrategien mit Optionen

Optionskontrakte ermöglichen eine Vielzahl von Handelsstrategien, die über einfache Long- oder Short-Positionen hinausgehen. Durch Kombinationen von Calls, Puts und ggf. dem Basiswert lassen sich spezifische Risiko-Ertrags-Profile konstruieren, um auf unterschiedliche Markterwartungen (steigend, fallend, volatil, stabil) zu setzen:

• Covered Call (Verkauf einer Call-Option bei gleichzeitigem Halten des Basiswerts): Diese Strategie generiert Prämieneinnahmen für einen Aktieninvestor. Sie ist profitabel, wenn der Aktienkurs seitwärts läuft oder moderat steigt (die Prämie wird vereinnahmt und die Aktie kann behalten werden). Sollte der Kurs stark steigen und der Call ausgeübt werden, verkauft man die Aktie zum Strike (entgeht also Gewinnen oberhalb des Strike). Der Covered Call bietet somit begrenzten Aufwärtsertrag (Strike + Prämie) und eine gewisse Downside-Absicherung (Prämie als Puffer bei Kursrückgang).
• Protective Put (Kauf einer Put-Option auf einen gehaltenen Basiswert): Dies entspricht einer Versicherung nach unten. Fällt der Aktienkurs stark, fängt der Put-Vertrag den Verlust unterhalb des Strike auf (man kann die Aktie zum Strike verkaufen). Diese Strategie begrenzt Verluste (analog einer Stop-Loss-Versicherung) auf Kosten der gezahlten Prämie. Sie ist sinnvoll, wenn man die Aktie halten will, aber kurzfristig Absicherung gegen Crash-Risiken sucht.
• Straddle: Kauf einer Call- und einer Put-Option mit gleichem Strike und Verfall. Ein Long Straddle erwartet eine kräftige Bewegung des Basiswertes, egal in welche Richtung (hohe Volatilität)[32][33]. Gewinn entsteht, wenn der Kurs entweder weit über oder weit unter dem Strike endet – die eine Option wird dann viel wert, während die andere verfällt. Bewegt sich der Kurs kaum, verliert man die gezahlten Prämien beider Optionen (Totalverlust am Strike). Ein Short Straddle dagegen setzt auf geringe Volatilität (stagnierende Kurse)[32][34]: Man verkauft Call und Put gleichzeitig und kassiert die Prämien, muss aber bei großer Kursbewegung potenziell hohe Verluste tragen (diese Strategie birgt unbegrenztes Risiko, wenn ungedeckt). Aufgrund dieses Risikos erfordert das Schreiben von Straddles strenge Risikoüberwachung oder eine zusätzliche Absicherung (z.B. im Covered Straddle hält man den Basiswert, um den Call abzudecken[35]).
• Strangle: Ähnlich dem Straddle, aber Kauf/Verkauf von unterschiedlich strike Optionen (Out-of-the-Money Call und Put). Ein Long Strangle ist oft günstiger als ein Straddle (weniger Prämie, da beide Optionen aus dem Geld), benötigt dafür noch größere Bewegungen (der Kurs muss eine bestimmte Bandbreite verlassen, damit einer der beiden Optionen ins Geld geht). Ein Short Strangle hat etwas geringeres Risiko als ein Short Straddle, da die Optionen weiter aus dem Geld sind, bleibt aber hochriskant bei extremen Bewegungen.
• Spreads: Hier kombiniert man Optionen gleicher Art (Calls oder Puts) mit verschiedenen Strikes oder Laufzeiten. Beispiele:

·         Bull Call Spread: Kauf eines Calls mit niedrigem Strike und Verkauf eines Calls mit höherem Strike (gleiche Laufzeit). Das begrenzt sowohl Gewinn als auch Kosten: Man wettet auf moderat steigende Kurse innerhalb einer Bandbreite. Ähnlich gibt es Bear Put Spreads (auf fallende Kurse).

• Butterfly Spread: Kombination von vier Optionen, z.B. Kauf von 1 Call mit tiefem Strike, 1 Call mit hohem Strike und Verkauf von 2 Calls mittlerer Strike (symmetrisch dazwischen). Diese Struktur profitiert von minimaler Volatilität: Sie erzielt Gewinn, wenn der Kurs am mittleren Strike (dem "Körper" des Schmetterlings) bleibt, und Verlust bei großen Abweichungen nach oben oder unten. Sie ist kostengünstig (niedrige Nettoprämie) und drückt eine Erwartung sehr geringer Bewegung aus (eine Art Short-Vol-Position mit begrenztem Risiko).
• Kombination mit Basiswert: Collar (Schutzkorridor) etwa: Man hält den Basiswert, kauft einen Put (Absicherung nach unten) und finanziert diesen teilweise durch den Verkauf eines Calls (gibt oberhalb einen Gewinnverzicht). So entsteht ein Band, innerhalb dessen man an Kursbewegungen partizipiert, während extreme Ausschläge begrenzt sind – nach unten durch den Put (Floor), nach oben durch den Call (Cap).

Diese und zahlreiche weitere Strategien erlauben es, genau zugeschnittene Risiko-Profile zu erreichen. Professionelle Optionshändler nutzen sie, um Positionen auf Volatilität abzubilden (z.B. Straddles für Volatilitäts-Trading) oder Ertragsstrategien umzusetzen (z.B. systematisches Covered-Call-Writing für Zusatzeinkommen). Jede Strategie hat eigene Chance-Risiko-Eigenschaften und wird durch Kennzahlen (Delta, Gamma etc. – siehe Sensitivität von Optionspreisen) analysiert, um das Gesamtprofil zu steuern.

In der Praxis sind Optionsstrategien auch beliebt zur Renditeverbesserung: So können Investoren, die von einem leicht steigenden oder seitwärts laufenden Markt ausgehen, Calls auf ihre Aktien schreiben (Covered Call) oder Put-Spreads verkaufen, um Prämien einzunehmen. Umgekehrt sichern Portfoliomanager Abwärtsrisiken oft durch Put-Käufe oder durch Protective Collars ab, je nach Risikoneigung und Kostenbudget.

Die Vielzahl der möglichen Optionskombinationen spiegelt die Flexibilität dieser Instrumente wider – man kann praktisch jede Markterwartung in ein derivates Positionsprofil übersetzen. Ein solides Verständnis der Payoffs und Risiken ist dabei unerlässlich, da komplexe Strategien empfindlich auf Änderungen der Einflussfaktoren (Volatilität, Zeitablauf, Underlying-Preis) reagieren.

Binomialbäume

Das Binomialmodell ist ein fundamentales Bewertungsverfahren für Optionen, das auf einer diskreten Abbildung möglicher Kursentwicklungen des Basiswerts beruht. Die Methode, entwickelt von Cox, Ross und Rubinstein (1979), diskretisiert die Zeit bis zur Fälligkeit in Schritte. In jedem Zeitschritt kann der Basiswert einen Aufwärts- oder Abwärtssprung machen (daher Binomial-Baum). Durch Rückwärts-Induktion entlang dieses Kursbaums lässt sich der Optionswert in jedem Knoten berechnen.

Die Grundidee ist folgende: Angenommen, in einem kleinen Zeitintervall $Δt$ steigt der Aktienkurs von $S$ auf $u \cdot S$ (mit Wahrscheinlichkeit $p$) oder fällt auf $d \cdot S$ (mit Wahrscheinlichkeit $1-p$), mit $u > 1 > d > 0$. Diese Parameter $u$ und $d$ werden so gewählt, dass sie die Volatilität repräsentieren (typisch $u = e^{σ\sqrt{Δt}}$, $d = e^{-σ\sqrt{Δt}}$ für Volatilität $σ$) und $p$ zunächst als reale Auftrittswahrscheinlichkeit angesehen. Am Ende der Laufzeit ($t=T$) sind die Auszahlungen der Option trivial (max($S-K,0$) für Calls etc.). Von diesen Endwerten arbeitet man nun schrittweise zurück: In einem Zwischenknoten betrachtet man ein Replikationsportfolio aus Δ Aktien und einer gewissen Position in der Anleihe, das in beiden möglichen zukünftigen Zuständen genau die Optionsauszahlung nachbildet. Durch No-Arbitrage müssen die Kosten dieses Portfolios gleich dem Optionswert heute sein.

Im risikoneutralen Ansatz formuliert man das einfacher: Man nimmt an, dass der Basiswert im Erwartungswert risikofrei wächst (unter einem künstlichen Q-Wahrscheinlichkeitsmaß). Dann kann der Optionswert als diskontierter Erwartungswert der zukünftigen Auszahlungen unter diesen risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Im Binomialmodell lässt sich die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit $π$ explizit angeben:

wobei $r$ der risikofreie Zins ist. $π$ ersetzt somit $p$ als "Martingal-Wahrscheinlichkeit". Mit $π$ berechnet man rückwärts:

Der Optionswert im vorletzten Knoten ist $C = e^{-rΔt} [π \cdot C_{\text{up}} + (1-π)\cdot C_{\text{down}}]$, eine diskontierte Erwartungswertbildung der bereits berechneten Werte $C_{\text{up}}, C_{\text{down}}$ im nächsten Schritt[36]. Indem man so alle Knoten durchläuft, erhält man schließlich den Optionspreis heute.

Ein Vorteil des Binomialansatzes: Amerikanische Optionen können bewertet werden, indem man bei jedem Knoten die Möglichkeit einer vorzeitigen Ausübung berücksichtigt. An jedem Bewertungsknoten wird der Optionswert als das Maximum aus Weiterhalten (dem wie oben berechneten Erwartungswert) und sofortigem Ausüben (innerer Wert) genommen. Dadurch kann man z.B. bestimmen, ob und wann es optimal ist, eine amerikanische Option vorzeitig auszuüben. Dieses Feature macht das Binomialmodell sehr flexibel.

Für praktische Zwecke konvergiert das diskrete Binomialmodell gegen das kontinuierliche Black-Scholes-Modell, wenn man die Zahl der Zeitschritte erhöht. Trotz höherem Rechenaufwand gegenüber der geschlossenen Black-Scholes-Formel ist das Binomialmodell weit verbreitet, weil es anschaulich ist und leicht mit Computer oder Tabellenkalkulation implementiert werden kann[37]. Es kann auch Bedingungen handhaben, für die es keine einfache Formel gibt (z.B. Pfadabhängigkeiten, amerikanische Ausübung). Für sehr komplexe Strukturen oder viele Risikofaktoren stößt das Binomialverfahren an Grenzen; hier werden oft Monte-Carlo-Simulationen vorgezogen[38]. Aber als didaktisches und praktisches Werkzeug ist der Binomialbaum ein Grundpfeiler der Optionsbewertung.

Zusammengefasst liefert das Binomialmodell eine numerische Methode zur Bewertung von Optionen[36], die auf arbitragefreien Prinzipien beruht. Es veranschaulicht auch das Konzept der risikoneutralen Bewertung: Durch geeignete Wahl der "Aufwärts-/Abwärts-Wahrscheinlichkeiten" ($π$ und $1-π$) werden die diskontierten erwarteten Preise zu Martingalen. Dieser Ansatz ist grundlegend für die moderne Finanzmathematik der Derivate.

Wiener-Prozesse und Itōs Lemma

Das Black-Scholes-Modell der Optionspreisbewertung (und viele andere finanzmathematische Modelle) beruhen auf der Annahme, dass die Kursdynamik von Basiswerten durch stochastische Prozesse beschrieben werden kann. Ein zentraler Baustein dabei ist der Wiener-Prozess (auch Brownsche Bewegung genannt). Ein Wiener-Prozess $W(t)$ ist ein zeitstetiger stochastischer Prozess mit unabhängigen, normalverteilten Zuwächsen[39]. Formal: $W(0)=0$, und $W(t) - W(s) \sim \mathcal{N}(0, t-s)$ für $0 \le s < t$, mit unabhängigen Inkrementen. Er ist das mathematische Modell des zufälligen Bewegungsphänomens, das der Botaniker Robert Brown im 19. Jahrhundert beobachtete (Partikelbewegung in Flüssigkeit) – daher "brownsche Bewegung". In der Finanzwirtschaft dient der Wiener-Prozess als Grundbaustein für die Unsicherheitsmodellierung von Kursen und Zinssätzen. Seit Itō Kiyoshi in den 1940er Jahren die stochastische Analysis begründete, nimmt der Wiener-Prozess eine zentrale Rolle in der Modellierung zeitstetiger Zufallsentwicklungen ein[40].

Wird etwa angenommen, ein Aktienkurs $S(t)$ folge einer stochastischen Differentialgleichung:

so bedeutet dies: $S$ erfährt einen deterministischen Drift $μS\,dt$ und einen stochastischen Stoß $σS\,dW(t)$. $dW(t)$ ist dabei das differentielle Inkrement eines Wiener-Prozesses – formal kein gewöhnliches Differential, aber im Itō-Kalkül definierbar. Dieses Modell entspricht einer geometrischen Brownschen Bewegung, Grundlage des Black-Scholes-Modells (hier ist $μ$ die erwartete Rendite, $σ$ die Volatilität). Der Wiener-Prozess treibt also die Zufallskomponente; die Annahme lognormal verteilter Preise resultiert direkt aus der Integration dieses Prozesses.

Im Rahmen dieser Modelle ist Itōs Lemma ein zentrales Werkzeug. Itōs Lemma (Itō-Formel) erlaubt es, das Differential einer Funktion eines stochastischen Prozesses zu bestimmen[41]. Einfacher gesagt: Hat man einen Itō-Prozess $X(t)$ (mit $dX = a\,dt + b\,dW$) und betrachtet eine wohldefinierte Funktion $f(t, X)$, so gibt Itōs Lemma an, wie $df$ aussieht – im Gegensatz zur üblichen Kettenregel kommt ein zusätzlicher Term von $½ b^2 f_{XX}$ hinzu, verursacht durch die Varianz der Brownschen Bewegung. In Symbolen:

Dieses Lemma ist fundamental, um Differentialgleichungen für Optionspreise herzuleiten. Im Black-Scholes-Kontext wendet man Itōs Lemma auf eine passend gewählte Funktion (typischerweise die Option als Funktion von $S$ und $t$) an, um schrittweise zur Black-Scholes-Differentialgleichung zu gelangen.

Auch in anderen Bereichen ist Itōs Lemma wichtig: Beispielsweise kann man damit den Prozess der Volatilität in stochastischen Volatilitätsmodellen transformieren oder Zinssatzmodelle analysieren.

Die tiefere Bedeutung von Itōs Lemma liegt darin, dass es den "nichtlinearen" Effekt der Varianz berücksichtigt. In einer Welt mit stochastischen Differentiellen sind Änderungen zweiten Grades (infinitesimal) nicht vernachlässigbar – Itōs Term $½ b^2 f_{XX}\,dt$ trägt real zur Driftänderung bei. Dies erklärt z.B., warum der Erwartungswert einer lognormalen Aktie über dem deterministischen Aufzins wächst oder warum Varianz und Drift entkoppelt sein können.

Zusammengefasst: Der Wiener-Prozess liefert das stochastische Element in kontinuierlichen Finanzmodellen, und Itōs Lemma ist das zentrale mathematische Instrument, um mit diesen stochastischen Prozessen Funktionen zu analysieren und Differentialgleichungen für Derivatpreise aufzustellen (wie die Black-Scholes-Gleichung). Erst die Kombination aus Wiener-Prozess-Modellierung und Itō-Kalkül ermöglicht präzise und arbitragefreie Bewertungen im kontinuierlichen Zeitmodell der Finanzmärkte.

Das Black-Scholes-Merton-Modell

Das Black-Scholes-Merton-Modell (BSM-Modell) markiert einen Meilenstein der Finanzwirtschaft und Finanzmathematik[42]. 1973 veröffentlichten Fischer Black und Myron Scholes ihre bahnbrechende Arbeit, kurz darauf ergänzt durch Robert Merton, der den Ansatz theoretisch vertiefte. Das Modell leitete einen Paradigmenwechsel ein: weg von Gleichgewichtsüberlegungen hin zu einer arbitragefreien Optionspreistheorie[43][44]. 1997 erhielten Scholes und Merton dafür den Wirtschafts-Nobelpreis (Black war bereits verstorben).

Annahmen des Modells: Das BSM-Modell fußt auf einigen idealisierenden Annahmen[45][46]: 1. Der Aktienkurs (Basiswert) folgt einer geometrischen Brownschen Bewegung mit konstantem Drift $μ$ und konstanter Volatilität $σ$. Es gibt also keine Sprünge – Kursänderungen sind stetig (lognormales Modell). 2. Es gelten keine Transaktionskosten oder Steuern; Wertpapiere sind beliebig teilbar. 3. Leerverkäufe sind uneingeschränkt möglich. 4. Es werden keine Dividenden während der Laufzeit gezahlt (ursprüngliches Modell). 5. Es existiert ein konstanter risikofreier Zinssatz $r$ für alle Laufzeiten, und Märkte erlauben keine Arbitrage. 6. Handel ist kontinuierlich möglich (man kann das Portfolio fortlaufend anpassen).

Unter diesen Voraussetzungen leiten Black, Scholes und Merton her, dass der Preis $V(S,t)$ eines Derivats (insbesondere einer Option) auf den Aktienkurs $S(t)$ der Black-Scholes-Differentialgleichung genügen muss:

Dies ist eine partielle Differentialgleichung, die für alle derivativen Kontrakte ohne Arbitrage gelten muss[47]. Intuitiv stammt sie daher, dass man ein risikoloses Portfolio aus Option und Aktie bilden kann (Delta-Hedge), das dann mit dem risikofreien Zins wachsen muss[48]. Die Herleitung setzt das Itō-Lemma ein und die Konstruktion eines selbstfinanzierenden, risikolosen Portfolios (bestehend aus einer Short-Position in der Option und Δ Aktien Long)[49]. Dieser Kern der Ableitung zeigt: Der resultierende Optionspreis ist unabhängig vom erwarteten Drift $μ$ der Aktie – was zählt ist nur $σ$, die Volatilität, da man unter dem risikoneutralen Maß rechnet.

Für konkrete Derivate ergeben sich aus der Black-Scholes-DGL bei passenden Randbedingungen die jeweiligen Lösungen. Für die europäische Kaufoption (Call) auf eine nicht-dividendenzahlende Aktie leiteten Black und Scholes die berühmte Black-Scholes-Preisformel her:

und analog für die Verkaufsoption (Put):

mit

und $\Phi(x)$ ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung[50][51]. Diese geschlossene Formel gibt den fairen Wert eines europäischen Calls/Puts als Funktion der Parameter $(S,K,T-t,r,σ)$.

Die Black-Scholes-Formel impliziert einige der bereits erwähnten Eigenschaften: Etwa dass ein Call immer mehr wert ist als sein innerer Wert, und dass die Griechen (Sensitivitäten) sich analytisch ableiten lassen. Das Modell resultiert in den bekannten Greeks: Δ (Delta) = $\Phi(d_1)$ für den Call, Γ (Gamma), Θ (Theta), Vega, ρ etc. Die Möglichkeit, diese Greeks zu berechnen, ist ein Vorteil der expliziten Formel – sie erleichtert das Risikomanagement der Optionen erheblich[52].

Mit dem BSM-Modell konnte man erstmals liquid gehandelte Optionen (z.B. auf Aktienindizes) systematisch bewerten. Die Annahmen sind zwar idealisiert, doch das Modell erwies sich als robust und bildete die Grundlage der heutigen Optionsmärkte. Viele Erweiterungen behandeln Relaxierungen der Annahmen: Einbeziehung von Dividenden (Merton erweiterte die Formel dafür 1973), stochastische Volatilität (Hull-White, Heston), Zinsstrukturmodelle für lange Laufzeiten etc. Die Grundidee des Delta-Hedging und der risikoneutralen Bewertung bleibt jedoch zentral.

Das Black-Scholes-Modell gilt als Ausgangspunkt für nahezu alle modernen Derivatmodelle – es brachte nicht nur eine praktisch handhabbare Formel, sondern etablierte das Konzept der arbitragefreien Bewertung mittels Martingalmaß. Auch wenn spätere Marktphänomene (z.B. Volatility Smiles, siehe unten) die Grenzen des einfachen Modells aufzeigten, bleibt Black-Scholes-Merton ein Grundpfeiler der Finanzökonomie und wird weiterhin für viele Bewertungsaufgaben (insbesondere bei europäischen Vanilla-Optionen) eingesetzt.

Mitarbeiteroptionen

Mitarbeiteroptionen (Employee Stock Options, ESOs) sind Optionen, die Unternehmen ihren Mitarbeitern – meist Führungskräften – im Rahmen der Vergütung gewähren. Typischerweise handelt es sich um Call-Optionen auf die eigene Aktie des Unternehmens, die den Mitarbeitern das Recht geben, innerhalb eines bestimmten Zeitraums Aktien des Unternehmens zu einem festen Preis (dem Ausübungspreis) zu erwerben. Diese Optionen dienen als Anreizmechanismus, da sie Mitarbeiter am Unternehmenserfolg teilhaben lassen: Steigt der Aktienkurs über den Ausübungspreis, realisiert der Mitarbeiter einen Gewinn beim Ausüben der Option (Aktien günstig beziehen und idealerweise teurer verkaufen).

Mitarbeiteroptionen unterscheiden sich in mehreren Punkten von börsengehandelten Standardoptionen: - Lange Laufzeiten und Vesting: Sie haben oft Laufzeiten von 5–10 Jahren. Außerdem unterliegen sie einer Sperrfrist (Vesting Period), meist 1–3 Jahre, während der die Option noch nicht ausgeübt werden darf. Dies soll Mitarbeiter langfristig binden. - Nicht-übertragbar: ESOs können nicht an der Börse gehandelt oder an Dritte verkauft werden. Der Mitarbeiter kann sie nur ausüben oder verfallen lassen. Dadurch ist ihr Wert aus Mitarbeitersicht geringer als eine frei handelbare Option, da keine Liquidität und keine Möglichkeit zur Zwischenzeit-Absicherung besteht. - Beim Verlassen des Unternehmens: Oft verfallen nicht ausgeübte Optionen wenn der Mitarbeiter die Firma verlässt (oder müssen innerhalb kurzer Zeit ausgeübt werden). - Steuer- und Rechnungslegung: Für Unternehmen waren Mitarbeiteroptionen lange attraktiv, da sie kein sofortiger Cash-Aufwand sind. Nach IFRS 2 und vergleichbaren Regeln müssen ESOs allerdings zum beizulegenden Zeitwert als Personalaufwand erfasst werden, was die Bilanzierung beeinflusst.

Bewertung: Die Bewertung von Mitarbeiteroptionen ist komplexer als bei normalen Optionen. Da sie nicht handelbar sind und vorzeitig verfallen können, werden in den Modellen Abschläge berücksichtigt. Mitarbeiter neigen zudem zu früher Ausübung, oft aus Diversifikations- oder Liquiditätsgründen (statt bis kurz vor Verfall zu warten, üben viele bereits aus, sobald die Option deutlich im Geld ist, um Aktien zu verkaufen und Gewinne zu sichern). Dadurch ist die effektive Lebensdauer kürzer als die vertragliche Laufzeit. Modellierer verwenden angepasste Modelle (z.B. modifizierte Black-Scholes mit kürzerer erwarteter Haltedauer oder Gittermodelle mit Abbruchwahrscheinlichkeit), um ESOs zu bewerten. Der Fair Value für die Bilanzierung wird so ermittelt, typischerweise unter Annahme einer erwarteten Ausübungsdauer und der historischen Mitarbeiterübungsneigung.

Für die Mitarbeiter stellt eine Aktienoption ein erhebliches Ertragschancen- und Risikoinstrument dar. Im besten Fall kann der Wert enorm steigen (z.B. in Tech-Boomphasen wurden viele Mitarbeiter durch Optionsprogramme reich). Im ungünstigen Fall (Aktienkurs bleibt unter Ausübungspreis) können die Optionen völlig wertlos verfallen, was für die Mitarbeiter einen entgangenen Bestandteil der Vergütung bedeutet. Daher ist es üblich, dass Optionen zusätzlich mit Strike mindestens auf damaligem Marktpreis gewährt werden (sogenannte at-the-money oder leicht out-of-the-money Zuteilung), um wirklich performanceabhängig zu sein.

Aus Unternehmenssicht haben ESOs den Vorteil, Anreize für den Aktienkurs zu schaffen und Mitarbeiter ans Unternehmen zu binden (Vesting). Der Nachteil ist die potenzielle Verwässerung der Anteile, wenn viele Optionen ausgeübt werden und das Unternehmen dafür neue Aktien ausgibt (oftmals wird dafür im Vorfeld ein entsprechendes Kontingent genehmigt).

In der Lehre der Bewertung werden Mitarbeiteroptionen oft als Beispiel herangezogen, wo die ideale Black-Scholes-Welt nicht erfüllt ist (nicht handelbar, early exercise rational etc.), sodass angepasste Bewertungsmethoden nötig sind. Dennoch basieren viele dieser Methoden auf der Black-Scholes-Logik, mit Modifikationen für die speziellen Bedingungen (z.B. berücksichtigen man einen Abschlag für Nichtübertragbarkeit analog einer höheren Dividendenrendite oder kürzeren Laufzeit).

In der Praxis veröffentlichen Firmen in Geschäftsberichten Angaben zu ihren Aktienoptionsplänen, einschließlich Anzahl, Ausübungspreisen und geschätztem Fair Value (nach z.B. Binomialmodell mit Annahmen über Volatilität und Verbleibsdauer).

Zusammenfassend: Mitarbeiteroptionen sind ein verbreitetes Instrument der Mitarbeiterbeteiligung, das Optionstheorie mit Personalpolitik verbindet. Ihre Bewertung erfordert die Anpassung klassischer Modelle an die spezifischen Restriktionen und Verhaltensmuster der Optionsinhaber.

Optionen auf Aktienindizes und Währungen

Optionen müssen nicht auf einzelne Aktien oder Rohstoffe bezogen sein – sehr beliebt und wichtig sind Optionen auf Aktienindizes und Optionen auf Währungen. Diese weisen einige Besonderheiten auf:

Aktienindex-Optionen

Indexoptionen beziehen sich auf einen gesamten Börsenindex wie z.B. den S&P 500, DAX oder Euro Stoxx 50. Sie werden häufig als europäische Optionen konstruiert (viele Indexoptionen sind europäisch, da der Basiswert ein Index ist, der nicht direkt handelbar ist). Die Abrechnung erfolgt in der Regel Cash-Settled: es werden keine physischen Aktien geliefert, sondern der Wertdifferenz in bar beglichen. Beispielsweise würde ein DAX-Call bei Verfall den Betrag $(\text{Indexstand} - K)\times €25$ (bei 25 € Multiplikator pro Punkt) auszahlen, falls im Geld.

Indexoptionen dienen vor allem zur Absicherung von Portfolios (ein Portfolio, das etwa den Euro Stoxx 50 nachbildet, kann über entsprechende Puts geschützt werden) oder zum gezielten Investment in Marktbewegungen (anstatt viele Aktien einzeln zu handeln). Für die Bewertung kann man das Black-Scholes-Modell anpassen: Da ein Aktienindex typischerweise Dividenden ausschüttet (die im Index je nach Berechnungsmethodik reflektiert sind), berücksichtigt man eine kontinuierliche Dividendenrendite $q$. Der Index-Call wird also bewertet wie ein Underlying mit Dividendenrendite $q$: Die Formel modifiziert sich zu $C = S e^{-qT}\Phi(d_1) - K e^{-rT}\Phi(d_2)$, was bedeutet, dass man so tut, als verzinst sich der Index mit $-q$ (weil Dividenden den Kurs mindern). Diese Dividendenrendite kann man approximativ aus den durchschnittlichen Dividenden der Indexbestandteile bestimmen. Praktisch beobachtet man oft, dass Indexoptionen nach 1987 ein Volatilitäts-Smirk zeigten (siehe nächstes Kapitel Volatility Smile) – was darauf zurückgeführt wird, dass breite Marktrückgänge anders wahrgenommen werden als einzelne Aktienrückgänge.

Indexoptionen haben meist hohe Nominalvolumina, daher werden sie vorwiegend von institutionellen Investoren genutzt. In den USA sind Optionen auf den S&P 500 (Ticker SPX) sowie auf den VIX-Volatilitätsindex sehr populär. In Europa bietet die Eurex u.a. Optionen auf den EURO STOXX 50 und den DAX an. Besonders in der Portfolio-Versicherung (Portfolio Insurance) spielten Index-Puts historisch eine Rolle – z.B. in der Zeit vor dem Crash 1987, was bei dessen Eintreten jedoch verstärkt Abwärtsdynamik erzeugte.

Währungsoptionen

Währungs- oder Devisenoptionen geben das Recht, eine bestimmte Währung gegen eine andere zu einem festgelegten Wechselkurs zu tauschen. Beispielsweise eine EUR/USD-Call-Option würde dem Inhaber das Recht geben, USD gegen EUR zu einem festen Kurs (Strike) zu kaufen (also implizit EUR zu verkaufen und USD zu kaufen, je nach Sichtweise). Währungsoptionen können auf zwei Arten notiert sein: Rechte auf eine Einheit Währung A in Währung B (z.B. Kauf 1 EUR für 1.10 USD) oder vice versa. Wichtig ist, dass bei zwei Währungen zwei Zinssätze relevant sind – der Zins der Inlandswährung und der der Auslandswährung.

Die Bewertung von Währungsoptionen erfolgt daher mit einer Erweiterung des Black-Scholes-Modells, bekannt als Garman-Kohlhagen-Modell (1983). Es ist analog zum Aktienindex mit Dividende: Hier spielt die ausländische Währung die Rolle eines "Dividenden zahlenden Assets". Konkret: Sei $r_d$ der risikofreie Zins der heimischen Währung (domestic) und $r_f$ der risikofreie Zins der Fremdwährung (foreign). Dann lautet die Call-Preisformel auf die Fremdwährung (aus Sicht der heimischen Währung) etwa:

wobei $S$ der aktuelle Wechselkurs (z.B. 1.10 USD/EUR), $K$ der Strike (z.B. 1.15) ist[53]. Hier wirkt $e^{-r_f T}$ wie ein Diskontfaktor für die Fremdwährung (analog Dividende) und $e^{-r_d T}$ der heimische Diskont. Intuition: hält man die Fremdwährung, erhält man den Zins $r_f$ darauf – das ist der "dividenden-ähnliche" Ertrag des Underlyings. Daher wird die Fremdwährung diskontiert. Die heimische Währung fließt beim Strike, daher wird $K$ mit dem heimischen Zins diskontiert.

Ein Beispiel: Eine Call-Option auf 100.000 € gegen USD (Recht, 100.000 € für USD zu kaufen) wird teurer, wenn der Euro-Zins (Fremdwährung) fällt oder der USD-Zins (Inlandswährung) steigt, ceteris paribus – weil ein niedriger €-Zins bedeutet, der Forwardkurs USD/EUR ist niedriger (Euro weniger aufgezinst, ergo im Forward billiger, gut für Call), während ein hoher USD-Zins ebenso den Forward EUR/USD senkt.

Währungsoptionen werden rege im Devisenmanagement eingesetzt, etwa um Exporterlöse abzusichern (durch den Kauf von Put-Optionen auf die Fremdwährung, was dem Recht entspricht, diese Fremdwährung zu einem Mindestkurs zu verkaufen). Große Banken handeln ein umfangreiches OTC-Geschäft in FX-Optionen, daneben gibt es Börsen wie die CME, an der Währungsoptionen auf Majors notieren. Liquide FX-Optionen zeigen oft sehr ausgeprägte Volatility Smiles/Skews (z.B. sind im Devisenmarkt Out-of-the-Money Puts und Calls oft beide teurer als At-the-Money, je nach Imbalance von Absicherungsnachfrage).

Zusammengefasst: Index- und Währungsoptionen funktionieren nach denselben Prinzipien wie Aktienoptionen, müssen jedoch Dividenden bzw. Zinsdifferenzen berücksichtigen. Sie ermöglichen effiziente Absicherung und Spekulation auf breite Marktindizes und Wechselkurse und sind daher für das Risikomanagement und die Makro-Spekulation unverzichtbar.

Optionen auf Futures

Optionen auf Futures kombinieren zwei Derivate: der Basiswert der Option ist ein Futures-Kontrakt. Solche Instrumente sind verbreitet, z.B. Optionen auf Börsenindex-Futures (an der Eurex etwa Optionen auf den DAX-Future) oder Optionen auf Zins-Futures (wie die CME-Optionen auf den Treasury-Bond-Future). Sie bieten ähnliche Exposure wie Optionen direkt auf den Basiswert, sind aber oft praktischer handelbar, weil der Future liquide ist und Lieferung standardisiert.

Die Bewertung von Optionen auf Futures lässt sich mit einer leichten Modifikation des Black-Scholes-Modells durchführen. Entscheidender Punkt: Ein Future erfordert kein initiales Investment (abgesehen von Margin). Daher hat ein Future keinen Tragekosten-Vorteil wie ein Basiswert, sondern wächst unter risikoneutralen Bedingungen im Erwartungswert null (im Gegensatz zu einem direkt gehaltenen Asset, das zum risikofreien Zins abzüglich Erträge wächst). Man kann zeigen, dass der faire Preis einer europäischen Option auf einen Future unter Arbitragefreiheit mit dem sogenannten Black-76-Modell erfolgt: Es ist analog zu Black-Scholes, jedoch wird der Futurepreis als underlying eingesetzt und der Abzinsfaktor ist $e^{-rT}$ für den Barwert der Auszahlung. Die Black-76-Formel für einen Call auf einen Future mit Ausübungspreis $K$ lautet:

wobei $F_0$ der aktuelle Futurespreis ist, $d_{1,2} = \frac{\ln(F_0/K) \pm \frac{1}{2}σ^2 T}{σ\sqrt{T}}$ analog definiert sind, und $σ$ hier die Implied Volatilität des Futurespreises über die Laufzeit ist[54]. Der Unterschied zu einer normalen Option auf den Kassawert ist, dass anstelle $S e^{-qT}$ hier effectively $F_0$ eingesetzt wird, und es keinen "Dividenden-/Lager-Term" gibt. Das $e^{-rT}$ vorne diskontiert die Auszahlung, da bei Optionsexpirierung die Differenz in bar fließt.

Intuitiv: Die vorzeitige Ausübung einer amerikanischen Option auf einen Future hat – im Gegensatz zu Aktien mit Dividende – immer einen Wert: denn der Future erfordert kein Kapital, daher ist eine amerikanische Option auf einen Future äquivalent einer europäischen (kein Vorteil, früh auszuüben, da man durch Halten der Option denselben Effekt erzielen kann wie durch Ausübung und sofortigen Futurehandel – es gibt keine finanziellen Haltekosten des Futures). Daher werden Optionen auf Futures in der Regel als europäisch betrachtet in der Bewertung.

Optionen auf Futures sind an vielen Börsen handelbar. Beispielsweise an der Eurex die Option auf den Euro-Bund-Future (OGBL), an der CME die Treasury-Future-Optionen, an der Cboe die Optionen auf den VIX-Future usw. Sie erlauben es, Volatilität auf den Futuremarkt direkt zu handeln. Ein Hedger kann mit einer Put-Option auf einen Future sein Futures-Engagement nach unten absichern. Ein Spekulant, der z.B. eine bestimmte Bewegung eines Zins-Futures erwartet, kann anstatt direkt des Future gleich eine Option kaufen, um begrenztes Risiko einzugehen.

Ein Aspekt ist die Konvexitätsanpassung: Insbesondere bei Zins-Futures-Optionen (z.B. Caps können als Option auf einen FRA gesehen werden, FRA ~ Forwardzins ~ Futuresatz) muss theoretisch eine kleine Adjustierung erfolgen zwischen Forward- und Futuresbewertung wegen der Korrelation von Zinssatz und Abzinsfaktor (Convexity Bias). In Praxis wird das aber oft mit Standard-Formeln abgegolten oder in die Volatilität eingepreist.

Kurz gesagt: Optionen auf Futures erweitern das Derivateuniversum, bringen aber im Wesentlichen keine neuen Schwierigkeiten – man bewertet sie wie Standardoptionen mit dem jeweils aktuellen Futurespreis als Basis und muss lediglich beim Pricing beachten, dass Futures fortlaufend abgerechnet werden. Im Ergebnis sind aber die meisten gängigen Formelansätze (insb. Black-76) bewährter Standard im Markt.

Sensitivität von Optionspreisen (Die “Greeks”)

Die Sensitivitäten von Optionspreisen gegenüber kleinen Änderungen der Einflussgrößen werden als Greeks (Griechen) bezeichnet. Diese Kennzahlen sind im Risikomanagement von großer Bedeutung[52][55], da sie Einblick geben, wie eine Optionsposition auf Änderungen bestimmter Marktparameter reagiert und wie man sie entsprechend hedgen kann. Die wichtigsten Greeks sind:

• Delta (Δ): Die Ableitung des Optionspreises nach dem Preis des Basiswerts $\partial V/\partial S$. Delta misst, wie stark der Optionspreis sich verändert, wenn der Basiswert um eine Einheit steigt. Beispielsweise hat ein atm Call typischerweise Δ ≈ 0,5 (50% Partizipation). Deep-in-the-Money Calls nähern sich Δ → 1, Out-of-the-Money Calls Δ → 0. Für Puts ist das Delta negativ (steigender Basiswert senkt Put-Wert). Delta entspricht auch der Hedge-Ratio: Halten von Δ Einheiten des Underlyings neutralisiert kleine Bewegungen (ein Delta-gehedgter Position hat dV ≈ 0 für kleine dS). In einem Portfolio kann man das Gesamt-Delta aufsummieren, um das lineare Aktienmarkt-Risiko abzuschätzen und ggf. mit Gegenpositionen ausgleichen.
• Gamma (Γ): Die zweite Ableitung nach dem Basispreis $\partial^2 V/\partial S^2$. Es misst die Krümmung des Optionswert-Profil – oder anders: wie stark ändert sich das Delta, wenn der Basiswert sich bewegt[56][57]. Ein hohes Gamma bedeutet, die Delta eines Optionsportfolios ist instabil und reagiert empfindlich auf Kursänderungen. Atm Optionen nahe Verfall haben höchstes Gamma, weil sie zwischen ITM und OTM schnell wechseln können. Gamma ist für Calls und Puts (gleicher Strike/Laufzeit) identisch. Market-Maker achten auf Gamma-Risiko: Ein Portfoliodelta mag gehedged sein, aber bei großem Gamma kann eine kleine Kursbewegung ein neues Delta-Mismatch erzeugen, das nachjustiert werden muss.
• Vega (Λ oder ν): Ableitung nach der Volatilität $\partial V/\partial σ$. Vega gibt an, wie stark der Optionspreis auf Änderungen der impliziten Volatilität reagiert[58]. Optionen besitzen einen positiven Vega (steigende erwartete Volatilität erhöht alle Optionswerte, da größere Bewegungsbreite mehr Chance auf tieferes ITM). Längerlaufende Optionen haben höheres Vega, da Volatilitätsänderungen über einen längeren Zeitraum wirken. Vega ist für Calls und Puts gleich groß (da beide auf die Streuung reagieren). In volatilitätslastigen Strategien (z.B. Straddles) ist das Vega-Risiko zentral: Ein Short-Straddle hat negatives Vega – steigende implizite Volatilitäten führen zu Verlusten.
• Theta (Θ): Ableitung nach der Zeit $t$ (genauer $-\partial V/\partial t$ wird oft als Theta angegeben). Theta misst den Zeitwertverfall einer Option – typisch negativ für Long-Optionen[59][60], da mit abnehmender Restlaufzeit (ceteris paribus) der Optionspreis sich dem inneren Wert nähert. Ein Theta von z.B. -0.05 bedeutet, die Option verliert ca. 5 Cent pro Tag an Wert (unter sonst gleichen Bedingungen). Theta-Effekte sind besonders ausgeprägt bei nah am Geld liegenden Optionen kurz vor Verfall (Zeitwertzerfall beschleunigt sich). Stillhalter hingegen profitieren von positivem Theta (sie verdienen an jedem Tag, der ohne große Bewegung vergeht, die Prämie “rinnt ihnen zu”).
• Rho (ρ): Ableitung nach dem Zinssatz $\partial V/\partial r$. Rho gibt an, wie sensitiv der Optionspreis auf Änderungen des risikofreien Zinssatzes reagiert[61]. Bei Calls ist Rho positiv – steigende Zinsen erhöhen den Call-Wert, weil der Abzinsungseffekt für den Strike (künftige Zahlung) stärker ist und der Barwert des Ausübungspreises sinkt[61]. Bei Puts ist Rho negativ (höhere Zinsen mindern den Put-Wert, da es unattraktiver wird, die sichere Zahlung $K$ zu bekommen vs. investiert zu bleiben). In den meisten Fällen ist Rho von geringerer Bedeutung, da Zinsänderungen relativ klein sind und Optionslaufzeiten begrenzt. Dennoch kann Rho bei sehr langen Laufzeiten oder großen Zinsbewegungen (z.B. Zinsschocks) relevant werden.
• Weitere Griechen: Es gibt noch Omega (Optionselastizität, prozentuale Delta-Empfindlichkeit, auch “Lambda” – siehe Hebelwirkung eines Optionsinvestments)[62], Vanna (Kreuzableitung nach S und σ), Charm (Änderung von Delta über Zeit), Vomma (Änderung von Vega bei Volatilitätsänderung) etc. In der Praxis konzentriert man sich aber auf die Hauptgriechen Δ, Γ, Θ, Vega, ρ.

Die Verwendung der Greeks erlaubt es, komplexe Portfolios zu steuern: Ein Market-Maker wird z.B. sein Gesamt-Delta neutral halten (durch Underlying-Positionen), Gamma und Vega überwachen und innerhalb Limits halten, Theta-Einnahmen maximieren etc. Hedge-Fonds können gezielt volatility trading betreiben, indem sie sich Delta-neutral stellen (um nur von Vega-Bewegungen zu profitieren).

Ein klassisches Beispiel ist Delta-Hedging: hat man eine Long-Option (Δ > 0), kann man entsprechend Aktien short verkaufen, um Δ=0 zu erreichen. Dann ist man zunächst immun gegen kleine Aktienkursänderungen und wettet primär auf Volatilität (Gamma) und Zeitverlauf (Theta). Durch dynamisches Nachsteuern des Deltas realisiert man den Optionszeitwert als Gewinn/Verlust aus der Hedge, wenn man antizipiert hat, dass implizite Volatilität höher als realisierte ist (klassische Optionsarbitrage-Strategie).

Insgesamt sind die Greeks essentielle Kennzahlen, um das Risiko eines Optionsportfolios zu managen[63]. Ohne sie wäre es kaum möglich, die vielfältigen Markteinflüsse zu überblicken. Insbesondere institutionelle Händler unterteilen ihr Optionsbuch nach Greeks und hedgen systematisch einzelne Risikofaktoren: Delta-Hedges gegen Marktschwankungen des Underlyings, Vega-Hedges z.B. durch Gegenpositionen in Volatilitätsderivaten, Theta-Erträge durch Stillhalterpositionen etc. Damit verbinden die Greeks die theoretische Optionsbewertung mit der praktischen Risikokontrolle.

Volatility Smiles

In einem perfekten Black-Scholes-Merton-Markt wäre die implizite Volatilität für alle Optionen auf denselben Basiswert einheitlich – die Optionspreise würden auf einem flachen Volatilitätsniveau liegen, unabhängig vom Strike. In der Realität beobachtet man jedoch häufig das Phänomen des Volatilitäts-Smile (Volatilitätslächeln): Optionen, die weit aus dem Geld oder weit im Geld sind, weisen höhere implizite Volatilitäten auf als At-the-Money-Optionen[64][65]. Auf einem Diagramm, das die implizite Volatilität gegen den Strike aufträgt, ergibt sich eine U-förmige, oft leicht gekippte Kurve, die an ein Lächeln erinnert – daher der Name.

Konkret bedeutet ein Volatilitäts-Smile: Eine ATM-Option (am Geld) hat die niedrigste implizite Volatilität; Out-of-the-Money (OTM) Puts und OTM Calls haben höhere implizite Volas[66]. Bei Aktienindex-Optionen spricht man häufig auch von einem Volatilitäts-Skew oder Smirk, da die Kurve nicht symmetrisch lächelt, sondern eher zu niedrigen Strikes (OTM Puts) steil ansteigt, während OTM Calls nur leicht höhere Volas aufweisen[65]. Beispielsweise seit dem Börsencrash 1987 sind im amerikanischen Aktienmarkt OTM Puts deutlich teurer geworden relativ zu ATM (investoren zahlen eine “Versicherungsprämie”), was ein permanentes Smirk in der Volatilitätskurve erzeugt[67].

Ursachen: Ein Grund liegt in den fetten Rändern der realen Renditeverteilungen. Black-Scholes unterstellt lognormalverteilte Kurse (Normalverteilung der Renditen), doch empirisch haben Aktien und andere Anlageklassen “fette Tails” und Schiefe (Skewness). Investoren sind sich dieser Crash-Risiken bewusst und gewichten sie höher – daraus resultieren höhere Preise für Optionen, die in Extremfällen auszahlen (z.B. weit OTM Puts als Crash-Versicherung)[68][69]. Zudem spielen Angebot/Nachfrage eine Rolle: Die starke Nachfrage nach Absicherung (Puts) treibt deren implizite Volatilität.

Modellimplikation: Ein einfaches Black-Scholes-Modell kann ein Smile nicht erklären, da es konstante $σ$ annimmt – ein volatiles Lächeln ist praktisch ein Zeichen, dass das Modell unvollständig ist. Diverse Ansätze wurden entwickelt: - Lokale Volatilitätsmodelle (Derman-Kani, Dupire) erlauben eine vom Strike und Zeit abhängige Volatilitätsoberfläche, die genau die marktbeobachteten Smile-Strukturen einpreist[70][71]. Die Idee: es gibt eine deterministische Funktion $σ_{lok}(S,t)$, welche in die Black-Scholes-DGL eingesetzt, zu Preisen führt, die mit dem gesamten Smile übereinstimmen. - Stochastische Volatilitätsmodelle (z.B. Heston-Modell, GARCH) führen eine zusätzliche Zufallsquelle für $σ(t)$ ein. Dadurch ergibt sich endogen ein Smile, weil z.B. bei fallenden Kursen die Volatilität zu steigen neigt (Volatilität/Preis-Korrelation erzeugt den Skew). Diese Modelle fügen idR 1–2 Parameter hinzu (z.B. Volatilitätsmittelwert, Mean-Reversion), die flexibel an Marktdaten angepasst werden[72]. - Sprung-Diffusionsmodelle (Merton 1976, etc.) erweitern die brownsche Bewegung um gelegentliche Sprünge im Kursprozess[73]. Sprünge – insbesondere nach unten – erzeugen ebenfalls einen impliziten Skew im Preis der Optionen, da sie das Risiko extremer Moves erhöhen.

Termstruktur: Nicht nur über Strikes, auch über Laufzeiten variiert die implizite Volatilität. Die Volatilitätsoberfläche (Volatility Surface) stellt implizite Vola in Abhängigkeit von Strike und Verfall dar[74]. Oft flacht der Smile bei längeren Laufzeiten etwas ab (extreme Strikes zeigen geringeres relatives Vola-Plus). Kurzläufer hingegen können sehr starke Skews haben, da kurzfristig Crashangst den Preis von nahen OTM Puts hochhält.

Praxis: Händler verwenden Smile-Informationen, um Modelle zu kalibrieren und um exotische Optionen zu bewerten (die vom gesamten Volatility Surface abhängen). Z.B. wird für jedes Strike/Maturity aus Marktdaten eine implizite Vola entnommen (Volatility-Interpolation), die dann in die Bewertung eingeht.

Beispiel: Betrachte EUR/USD-Devisenoptionen – traditionell sieht man hier eher ein "echtes" Smile (beide Tails teuer), während bei Aktienindex-Optionen eher ein “Smirk” (nur Put-Seite teuer) vorliegt[75]. Gründe sind u.a., dass Währungen symmetrischer Schwankungen unterliegen (keine einseitigen Crashs wie Aktienmärkte, außer Regierungseingriffe) und daher ein symmetrischeres Lächeln zeigen.

Volatility Smiles sind also zum einen eine empirische Beobachtung, zum anderen ein Prüffeld für Modelle. Sie erinnern uns daran, dass das Basismodell vereinfachend ist. Ein gelungenes Modell soll die Smile-Strukturen möglichst erklären oder zumindest akkurat reproduzieren. Etwa ist im Heston-Modell die Smile-Form eingebaut, da es fette Ränder generiert (durch Varianzänderungen). Das LIBOR-Market-Model in Zinsmärkten erzeugt eine Volatilitätsabhängigkeit von Strikes etc.

Zusammenfassend spricht man von einem Volatility Smile, wenn implizite Volatilitäten für Optionen auf denselben Basiswert je nach Moneyness variieren, typischerweise höher für weit aus dem Geld/in dem Geld. Dieses Phänomen ist seit dem 1987er Crash in Aktienmärkten ausgeprägt[76] und erfordert erweiterte Modellannahmen oder Korrekturfaktoren, um es abzubilden. Es verdeutlicht, dass Marktteilnehmer höhere Prämien für Extremrisiken verlangen und dass reale Kursprozesse nicht perfekt durch die einfache Normalverteilung abgebildet werden können (Skewness und Kurtosis sind vorhanden)[77].

Numerische Verfahren: Grundlagen

Zur Bewertung komplexer Derivate, für die es keine geschlossene Formel gibt, und zur Lösung der Optionspreis-Differentialgleichungen kommen numerische Verfahren zum Einsatz. Die wichtigsten grundlegenden Methoden sind:

• Binomial- und Trinomialbäume: (bereits im entsprechenden Kapitel behandelt) – durch diskretisiertes Rückwärts-Aufrollen können viele Optionen (auch mit amerikanischer Ausübung) berechnet werden. Die Konvergenz gegen den kontinuierlichen Wert wird durch Verfeinerung des Gitters erreicht.
• Finite-Differenzen-Methoden: Hier löst man die Black-Scholes-DGL (oder artverwandte PDEs) direkt als Randwertproblem. Das zeitliche Rückwärts-Schritt entspricht der ökonomischen Rückwärts-Induktion. Gängige Ansätze sind das explizite, implizite und Crank-Nicolson-Verfahren. Finite-Differenzen eignen sich besonders für exotische Optionen mit komplexen Payoffs (Barrier-Optionen, Lookbacks etc.), weil man Randbedingungen flexibel einflicken kann. Sie erfordern Gittererstellung in Preis- und Zeitdimension und können bei hoher Dimension (viele Underlyings) ineffizient werden.
• Monte-Carlo-Simulation: Hier simuliert man den Zufallsprozess direkt und ermittelt den Erwartungswert durch viele Pfad-Simulationen. Für europäische (später auch pfadabhängige) Optionen sehr universell einsetzbar. Monte Carlo ist oft die Methode der Wahl, wenn die Dimension hoch ist (viele Risikofaktoren), weil die Komplexität linear in der Dimension steigt, während Gittermethoden exponentiell steigen (Fluch der Dimension). Allerdings konvergiert Monte Carlo langsam ($\sim 1/\sqrt{N}$) und verlangt Varianzreduktionstechniken für Effizienz. Dennoch: Für exotische Strukturen (z.B. basket options, komplexe Asian-Optionen) ist Monte Carlo Standard. In Fällen mit frühen Ausübungsrechten (Amerikanisch) muss man mit speziellen Techniken (z.B. Longstaff-Schwartz Least-Squares Monte Carlo) arbeiten.
• Transformationsmethoden: Für gewisse payoff-Strukturen lässt sich mittels Fourier-Transformation und Inversionsformeln (FFT) der Preis effizient berechnen, insbesondere wenn die Charakteristik des Prozesses bekannt ist. Dies spielt bei neueren Modellen (stoch. Volatilität, Jumps) eine große Rolle (Stefanica, Carr-Madan-Formeln etc.).

Bei all diesen Verfahren ist sicherzustellen, dass sie stabil und konvergent sind. Finite-Differenzen erfordern z.B. Gitter-Feinheit und ggf. Stabilitätskonditionen (etwa bei explicit FD die CFL-Bedingung $\Delta t$ klein genug relativ zu $(\Delta S)^2$). Monte Carlo erfordert genug Pfade und am besten Varianzreduktion (Antithetic variates, control variates usw.), um den Fehler zu reduzieren.

Ein weiterer Gesichtspunkt ist die Kalibrierung: In der Praxis sind Modellparameter (etwa Volatilitäten, Korrelationen) unbekannt und müssen aus Marktdaten geschätzt werden. Numerische Optimierung wird dann verwendet, um Modellpreise an Marktdaten anzupassen (z.B. Suche nach Volatilitätsparametern, so dass modellierte Smile der Markt-Volatility-Smile entspricht). Solche Kalibrierungsverfahren laufen typischerweise mit Iterativen numerischen Algorithmen (Newton-Verfahren, Least-Squares fit, global heuristische Methoden wie Simulated Annealing je nach Problem).

Insgesamt gilt: Analytische Lösungen sind in der Derivatewelt rar, insbesondere für exotische Optionen oder komplexe Modelle. Numerische Verfahren sind daher integraler Bestandteil des modernen Derivatepricing. Sie ermöglichen es, unter Wahrung der Arbitragefreiheit auch komplizierte Auszahlungen zu bewerten. Die Entwicklung in den letzten Jahrzehnten hat immer effizientere Algorithmen hervorgebracht, um z.B. ganze Bücher von Derivaten schnell neu zu bewerten (z.B. GPUs für Monte Carlo). Eine Grundvoraussetzung bleibt aber stets: Der numerische Ansatz muss theoretisch fundiert sein – häufig wird auf Martingal-Eigenschaften (risikoneutrale Erwartungswert-Bildung) zurückgeführt, und die Verfahren sind Überprüfungen unterworfen, dass sie die PDE oder Erwartungsdefinition korrekt approximieren.

Zusammenfassend sind Binomialbäume, Finite-Differenzen, Monte-Carlo-Simulationen und neuere Transformationsmethoden die Grundpfeiler der numerischen Optionsbewertung. Ihre Wahl hängt vom Problem ab: Pfadabhängig -> Monte Carlo; niedrigdimensionale PDE -> Finite Differences; early exercise -> Bäume oder Least-Squares Monte Carlo; Fourier-Methoden bei charakteristischen Funktionen etc. Oft kombiniert man auch Methoden (z.B. Monte Carlo mit Analytik für Teilstrukturen wie bei Heston). Ohne diese numerischen Verfahren wäre die Bewertungspraxis für komplexe Derivate und Risikomanagement großer Derivateportfolios kaum handhabbar.

Value at Risk

Der Value at Risk (VaR) ist ein zentrales Konzept im Risikomanagement, um das Marktrisiko von Handelsportfolios quantitativ zu fassen. Er definiert den erwarteten Maximalverlust eines Portfolios über einen bestimmten Zeithorizont bei gegebenem Vertrauensniveau[78]. Genauer: Bei z.B. 95% Konfidenzniveau und einem Tag Zeithorizont ist der VaR der Verlustbetrag, der mit 95% Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird innerhalb eines Tages[78]. Oder anders: Es besteht 5% Wahrscheinlichkeit, dass der Verlust größer als VaR ist (entspricht dem 5%-Quantil der Gewinn/Verlust-Verteilung). Typische Parameter in Banken sind 1-Tages-VaR 99% oder 10-Tages-VaR 99% (Basel-Regulierung verlangte etwa 10-Tage 99%).

Beispiel: Ein VaR von 10 Mio € bei 99%/1 Tag bedeutet: Es ist sehr unwahrscheinlich (1% Chance), dass das Portfolio in einem Tag mehr als 10 Mio € verliert. Gleichzeitig heißt es aber auch, dass in 1 von 100 Tagen dieser Verlust überschritten wird – worst cases jenseits des VaR sind möglich, aber werden per Definition ausgeklammert.

Die Berechnung des VaR erfordert: 1. Eine Modellierung der Wertänderungsverteilung des Portfolios über den betrachteten Zeitraum (z.B. 1 Tag). Dazu müssen die Risikofaktoren (Aktienkurse, Zinsen, Wechselkurse etc.) mit ihren Volatilitäten und Korrelationen erfasst werden[79], entweder durch Annahme einer Verteilung (meist Normalverteilung der Risikofaktor-Änderungen) oder durch empirische Simulation. 2. Dann Bestimmung des entsprechenden Quantils. Methoden sind: - Varianz-Kovarianz-Ansatz (Delta-Normal): Unterstellt multivariate Normalverteilung der Risikofaktoränderungen[80]. Der Portfolioverlust wird über die lineare Sensitivität (Delta) approximiert und durch Varianz-Kovarianz-Matrix der Faktoren die Verteilung berechnet (das Portfolioergebnis ist dann ebenfalls normalverteilt, Var = $\Delta^T \Sigma \Delta$). Einfach implementierbar, aber problematisch für nichtlineare Instrumente wie Optionen[81] und schätzt Tail-Risiken oft zu gering (Normalverteilung unterschätzt fette Tails). - Historische Simulation: Nimmt an, die zukünftigen Verluste folgen der gleichen Verteilung wie historische Beobachtungen. Man nimmt z.B. 250 vergangene Tagesänderungen der Risikofaktoren, wendet diese Veränderungen auf das aktuelle Portfolio an (d.h. bewertet das Portfolio 250-mal mit den veränderten Faktoren) und erhält 250 hypothetische Tagesgewinne/-verluste. Der VaR ist dann das 1%-schlechteste dieser Ergebnisse[82][83]. Vorteil: keine Verteilungsannahme, fängt fette Tails ein sofern in Historie vorhanden. Nachteil: basiert vollständig auf Vergangenheitsmuster, instabil bei kleinem Datensatz. - Monte Carlo Simulation: Generiert viele zufällige Pfad-Samples der Risikofaktoränderungen (häufig unter Normalverteilungsannahme oder mit modifizierten Verteilungen), berechnet entsprechend Portfolioverluste und zieht daraus das entsprechende Quantil[84]. Flexibel und kann auch Nichtlinearitäten abbilden (durch exakte Neupreisung des Portfolios je Sample), allerdings rechenaufwendig. Hier können auch komplexe modellierte Verteilungen (z.B. GARCH-Volatilitäten, Copulas für Abhängigkeiten) einbezogen werden.

VaR hat durch seinen Einfacheitswert große Verbreitung gefunden: Er drückt ein Risiko in einem einzigen Geldbetrag aus ("Wir riskieren max. X € mit Y% Vertrauen"). Regulatorisch wurde er in Basel II für Marktrisiko hinterlegt – Banken mussten ihr Handelsbuch-Eigenkapital nach internem VaR-Modell bemessen (10-Tages 99% VaR). Allerdings ist VaR kein kohärentes Risikomaß im streng mathematischen Sinn, v.a. da es nicht subadditiv ist: Zwei Teilportfolios können einen höheren gemeinsamen VaR haben als Summe ihrer Einzel-VaRs (besonders bei nicht-normalverteilten Risiken)[85]. Das liegt daran, dass VaR nur ein Quantil betrachtet und nichts über die Verteilung jenseits dieses Quantils aussagt.

Kritik und Weiterentwicklung: Während VaR Standard blieb, hat man nach der Finanzkrise 2008 erkannt, dass das Worst-Case-Verhalten stark unter den Tisch fällt. Beispielsweise kann ein Portfoliowert eine extrem schiefe Verteilung haben mit seltenen, aber katastrophalen Verlusten – VaR 99% ignoriert, was im 1% Fall passiert. Daher wird zunehmend der Expected Shortfall (ES) oder CVaR (Conditional VaR) genutzt, der den Durchschnitt der Verluste über dem VaR-Quantil misst (wie "erwarteter Verlust, falls der VaR-Fall eintritt"). Dieser ist ein kohärentes Risikomaß und reagiert empfindlicher auf Tail-Risiken[86].

In der Praxis wird VaR für viele Zwecke eingesetzt: Handelslimits (Traders dürfen z.B. max 1 Mio VaR fahren), strategische Risiko-Allokation, Performance-Messung (Risk-Adjusted Returns). Wichtig ist, dass die Schätzung der Volatilitäten und Korrelationen korrekt ist und bei Veränderungen aktualisiert wird (z.B. durch Exponentially Weighted Moving Average EWMA, GARCH etc. – siehe nächster Abschnitt). Extremereignisse kann VaR nicht vorhersehen, wenn sie nicht im Datenfenster liegen oder vom Modell abweichen. So wurden riskante Positionen vor 2007 mit geringen VaRs eingestuft, da die Volatilitäten damals gering waren und fat tails ignoriert wurden; im Crash 2008 kam es dann zu Verlusten, die ein Vielfaches des vorher gemeldeten VaR betrugen.

Zusammengefasst: Der Value at Risk ist eine knappe Kennzahl des Marktrisikos, definiert als maximaler Verlust unter Normalbedingungen für einen bestimmten Zeitraum mit gegebener Wahrscheinlichkeit[78]. Er hat das Risikomanagement standardisiert, ist aber kein Allheilmittel – gerade die Ausnahmen jenseits des VaR (worst case) sind gefährlich. Daher wird VaR oft ergänzt durch Stresstests (Was passiert bei Crash XY?) und durch Kennzahlen wie Expected Shortfall, um ein umfassenderes Bild zu erhalten.

Schätzungen von Volatilitäten und Korrelationen

Für die Anwendung der zuvor beschriebenen Modelle und Risikomaße müssen Volatilitäten und Korrelationen als Inputs geschätzt werden. Diese Größen sind zeitlich nicht konstant und schwer direkt beobachtbar, müssen aber aus Marktdaten abgeleitet werden.

Volatilitätsschätzung: - Historische Volatilität: Berechnet sich aus vergangenen Preisdaten. Typischerweise nimmt man logarithmische Renditen $r_i = \ln(S_{i}/S_{i-1})$ auf Tages- oder Wochenbasis und bestimmt deren Standardabweichung. Um eine Jahresvolatilität zu erhalten, skaliert man z.B. die Tages-Stdabw mit $\sqrt{250}$. Die historische Volatilität lässt sich über verschiedene Fenster berechnen (30 Tage, 250 Tage etc.). Sie kann als Schätzer für die zukünftige realisierte Volatilität dienen. - Exponentiell gewichtete Volatilität (EWMA): Um jüngere Daten stärker zu gewichten, verwendet man z.B. EWMA-Methoden (RiskMetrics-Vorschlag). Hier wird $σ^2_{t} = \lambda σ^2_{t-1} + (1-\lambda) r_{t-1}^2$ rekursiv geschätzt, mit einem Abklingfaktor $\lambda$ (~0.94 für Tagesdaten). So reagiert die Schätzung schneller auf Volatilitätsregimewechsel. - Modellbasierte Schätzung (GARCH): GARCH-Modelle gehen einen Schritt weiter und modellieren Volatilität als stochastischen Prozess. Ein einfaches GARCH(1,1): $σ^2_{t} = α_0 + α_1 r^2_{t-1} + β σ^2_{t-1}$. Solche Modelle fangen die empirischen Eigenschaften von Finanzzeitreihen gut ein (Clustering von Volatilität, Mean-Reversion). Parameter werden via Maximum-Likelihood aus Daten geschätzt. GARCH liefert eine Volatilitätsprognose, die oft besser ist als die naive konstante Vola. - Implizite Volatilität: Aus Optionspreisen lässt sich die vom Markt erwartete Volatilität extrahieren – die implizite Volatilität, welche den Optionspreis ins Black-Scholes-Modell eingesetzt reproduziert. Viele Praktiker vertrauen impliziten Volas als “Vorhersage” der künftigen Schwankung, da sie die am Markt konsistente Erwartung (oder zumindest Konsens) darstellt. Allerdings ist implizite Vola wiederum strike- und laufzeitabhängig (Volatility Smile/Surface). Für konkrete Prognosezwecke (z.B. VaR) nimmt man oft ATM implizite Volas als Indikator.

Korrelationen zwischen Risikofaktoren sind ebenso wichtig, v.a. im Portfolio-Kontext. Beispielsweise für VaR im Aktienportfolio braucht man die Kovarianzmatrix aller Aktienrenditen[87]. Schätzungsmethoden: - Historische Korrelationen: analog zur Volatilität aus Zeitreihen, z.B. via Pearson-Korrelationskoeffizient auf log-returns. Großer Schätzerfehler wenn Dimension hoch und Zeitfenster klein (die empirische Kovarianzmatrix kann sehr “noisy” sein). - Shrinkage-Methoden: Man glättet die Korrelationen z.B. Richtung Durchschnittskorrelation oder nach Faktoren, um Extremwerte zu vermeiden. - Faktor-Modelle: Annahme, dass ein paar Hauptfaktoren (z.B. Sektoren, Marktindex) die Korrelationen treiben. Dann schätzt man die Faktoren und ladings, was stabilere Schätzer gibt.

Volatilität und Korrelation im Derivatekontext: Für Modelle wie LIBOR Market Model oder HJM (Zinsstrukturmodelle) muss die Volatilitätsfunktion der Zinsforwards und ihre Korrelationen entlang der Kurve geschätzt werden. Oft wird hierzu an die Implizitvolatilitäten von Caps/Floors und Swaption-Volas kalibriert – diese enthalten Informationen über die Markterwartungen an Zinsvolatilitäten und Korrelationen (z.B. das Spread zwischen 2- und 10-Jahres-Satz impliziten Volas gibt einen Anhaltspunkt, wie Pfadabhängig Volatilität ist; Swaption Smile kann Korrelationseffekte anzeigen).

In Kreditderivaten (z.B. CDO-Bewertung) spielt die Korrelation zwischen Ausfällen eine große Rolle. Diese sogenannte Copula-Korrelation wird aus Index-CDS-Tranchen-Preisen implizit geschätzt, da historische Daten rar sind.

Zusammengefasst müssen Volatilitäten und Korrelationen mit Sorgfalt geschätzt werden, da die Güte von Risikomodellen und Derivatebewertungen maßgeblich davon abhängt. Historische Schätzer bieten objektive Anhaltspunkte, reagieren aber langsam und unterstellen oft Normalverteilungen. Implizite Werte bieten Marktkonsens, können aber Verzerrungen enthalten (z.B. Risikoprämien). In der Praxis kombiniert man Ansätze: z.B. calibrate-to-market (implizite Volas) aber stress-test gegen historische Moves.

Gerade im Portfolio-Risikomanagement (VaR etc.) gilt: Falsche Korrelationen können Diversifikation überschätzen oder unterschätzen. So führte im 2007/2008 die plötzlich ansteigende Korrelation zwischen vielen Anlageklassen (alle fielen gemeinsam) zu viel höheren Verlusten, als die Modelle basierend auf ruhigen Vorjahren erwartet hatten. Dies zeigt die Grenzen rein statistischer Schätzungen auf – man ergänzt daher oft Stresstestszenarien, die Schätzungen übersteigende Bewegungen simulieren.

Kreditderivate

Kreditderivate sind Finanzinstrumente, die das Kreditrisiko (Ausfallrisiko) von Krediten oder Anleihen handelbar machen. Mit Kreditderivaten kann man Kreditrisiken isolieren und übertragen, ohne dass der Kredit oder die Anleihe selbst den Besitzer wechselt[88]. Sie entstanden in den 1990er Jahren und haben seither einen großen Markt entwickelt.

Der grundlegendste Typ ist der Credit Default Swap (CDS): Ein CDS ist ein Vertrag zwischen zwei Parteien, bei dem der Sicherungsnehmer (Käufer des Schutzes) dem Sicherungsgeber (Verkäufer) eine regelmäßige Prämie zahlt, und dafür im Falle eines Kreditereignisses (z.B. Zahlungsausfall oder Restrukturierung des Referenzschuldners) vom Sicherungsgeber eine Ausgleichszahlung erhält[88][89]. Im Prinzip fungiert ein CDS wie eine Versicherung auf eine Anleihe: Der Sicherungsnehmer wird gegen Ausfall abgesichert. Der Sicherungsgeber "verkauft" Versicherung und erhöht damit sein Ausfallrisiko (er bekommt Prämien, muss aber im Event zahlen)[90].

Beispiel: Bank A hält eine Anleihe von Unternehmen X. A kauft einen 5-Jahres-CDS auf X von Bank B und zahlt quartalsweise 100 Basispunkte auf Nominal. Wenn X ausfällt, zahlt B an A den Verlust (üblicherweise Nominal - Recovery). Diese 100 Bp/Jahr spiegeln die vom Markt eingeschätzte Ausfallwahrscheinlichkeit (adjustiert um Recovery und Liquiditätsprämie) von X wider.

Weitere Kreditderivate und Strukturen: - CDS-Index: Bündel von CDS auf z.B. 125 Unternehmen aus einem Sektor (z.B. iTraxx Europe, CDX North America). Er ermöglicht Marktkreditrisiko als Ganzes zu handeln (ähnlich einem Aktienindex). - Credit Linked Note (CLN): Eine Anleihe, deren Rückzahlung an den Ausfall eines Referenzschuldners gekoppelt ist[91]. Im Prinzip eine Kombination aus risikoloser Anleihe und verkaufter CDS: Der Investor der CLN erhält z.B. hohen Zins, trägt aber das Ausfallrisiko eines bestimmten Namens. - Credit Spread Option: Eine Option auf den Kreditspread einer Anleihe oder CDS. Damit kann man auf die Ausweitung oder Einengung von Spreads spekulieren. - Total Return Swap auf Kreditportfolio: Bank gibt die Totalrendite (Zins + Kursänderung) eines Kreditportfolios an Investor und bekommt im Tausch einen festen Zins + trägt keine Ausfälle. Der Investor exponiert sich damit am Kreditportfolioertrag (und -verlust). - CDO (Collateralized Debt Obligation): Strukturierte Kreditderivate, wo ein Portfolio von Krediten/Anleihen in Tranchen aufgeteilt wird. Jede Tranche trägt in abgestufter Reihenfolge Verluste: Die Equity-Tranche fängt erste Verluste bis zu einer Schwelle, dann Mezzanine etc., die Senior-Tranche trägt nur extreme Verluste. So können Investoren je nach Risikoneigung Tranchen kaufen. Die Preisstellung von CDO-Tranchen erforderte komplexe Korrelationsannahmen – dieser Markt spielte eine zentrale Rolle in der Finanzkrise, da viele CDOs auf US-Hypotheken ausgegeben wurden und die Korrelation massiv unterschätzt wurde.

Der Nutzen von Kreditderivaten: Sie erlauben Kreditrisiken zu handeln und zu hedgen. Banken können z.B. via CDS Absicherungen für Kreditausfälle kaufen, ohne die Kundenbeziehung zu beenden. Investoren können an den risikoreichen Teilen der Kreditpools partizipieren (z.B. via CDO-Equity) und dafür hohe Rendite verlangen. Marktteilnehmer können auch auf Bonitätsänderungen spekulieren (z.B. Short gehen auf eine Firma durch CDS-Kauf).

Bewertung: Einfache Kreditderivate wie CDS werden anhand der Ausfallswahrscheinlichkeit und erwarteten Recovery bewertet. Die Fair Spread in einem CDS ergibt sich, wenn der Barwert der Prämienzahlungen = Barwert des erwarteten Ausgleichs ist. Mathematisch: $s \sum_{t} P(Überleben bis t) \Delta t ≈ (1-R) P(Ausfall)$ – gelöst für $s$ (Spread). Es fließen Annahmen über die Ausfallintensität λ (Hazard Rate) ein: z.B. exponentieller Überlebensprozess $P(\text{Überleben bis T}) = e^{-λ T}$. Aus Marktdaten (beobachtete CDS-Spreads) kann man implizite Ausfallkurven bootstrappen.

Kreditderivate mit Abhängigkeiten (CDOs) benötigen Kreditkopula-Modelle: man nimmt z.B. an, die Ausfälle korrelieren via Normal- oder T-Copula mit einem Korrelationsparameter ρ. Der Preis einer CDO-Tranche hängt dann stark von ρ ab – kleine ρ (nahe unabhängige Ausfälle) bedeuten, Verluste verteilen sich, was z.B. die Equity-Tranche relativ entlastet; große ρ (hohe Gleichzeitigkeit) bedeuten, entweder nichts passiert oder viele Ausfälle zusammen, was Senior-Tranchen riskanter macht. Die Gauss’sche Copula war ein Standardmodell (mit ρ als Parameter), wurde aber nach Krise kritisiert (sie unterschätzte das Tail-Risiko bei Marktkorrelationen).

Risiko: Kreditderivate können systemisches Risiko erhöhen, wie 2008 gesehen – sie ermöglichen zwar Risikotransfer, aber auch hohe Hebel und Intransparenz. Ein Problem war, dass durch CDS viele Banken indirekt miteinander verbunden waren (AIG als Sicherungsgeber fiel 2008 beinahe aus, was globale Folgen gehabt hätte).

Heute sind Standard-CDS durch zentrale Gegenparteien gecleared, und es gibt strengere Anforderungen an Collateral. Der Kreditderivatemarkt hat nach 2008 in bestimmten Bereichen an Volumen verloren (z.B. strukturierte ABS/CDOs), während Standard-Indices und Single-Name-CDS weiterhin wichtige Marktinstrumente sind.

Kreditderivate illustrieren, wie Derivateprinzipien (Arbitrage, Optionsbewertung) auf neue Risiken angewandt werden. So ist ein CDS letztlich dem Abschluss einer Folge von Ausfall-Optionen ähnlich – man kann ihn als Portfolio von digitalen Optionen interpretieren, die im Ausfall triggern. Der Markt hat eigene Konventionen (z.B. geregelte Credit Events, ISDA Definitions) entwickelt, um diese Produkte homogen zu halten.

Zusammengefasst ermöglichen Kreditderivate die Entkopplung des Kreditrisikos vom eigentlichen Kreditgeschäft[88]. Sie verbessern Risikodiversifikation, erhöhen aber auch die Komplexität des Finanzsystems. Ihre Bewertung erfordert sowohl klassische Methoden (Barwert von Cashflows) als auch spezielle statistische Ansätze (Ausfallintensitäten, Korrelation).

Exotische Optionen

Exotische Optionen sind Optionen mit ausgefallenen oder zusätzlichen Auszahlungsstrukturen, die von den "plain vanilla" Calls und Puts abweichen. Sie wurden ursprünglich so genannt, weil viele erstmals in speziellen Märkten (Tokio, Hongkong etc.) gehandelt wurden und "exotisch" klangen, und weil ihre Strukturen komplexer sind. Exotische Optionen besitzen oft pfadabhängige oder bedingte Auszahlungen, oder zusätzliche Entscheidungsrechte. Einige wichtige Typen:

• Barrier-Optionen: Optionen, die nur in Kraft treten (Knock-In) oder verfallen (Knock-Out), wenn der Basispreis eine bestimmte Schwelle (Barriere) erreicht. Beispielsweise ein Knock-Out Call verfällt wertlos, sobald der Kurs während der Laufzeit die Barriere überschreitet[92][93]. Barriers sind beliebt, da sie günstiger sind als Vanilla (man zahlt nur für den bedingten Schutz) und gezielte Strategien erlauben (z.B. Turbozertifikate basieren auf Knock-Out-Optionen). Pricing erfordert Berücksichtigung von Pfad (Closed-Formeln existieren für einfache Barriers im Black-Scholes, basierend auf Spiegelargumenten).
• Asian-Optionen: Pfadabhängig insofern, als die Auszahlung vom Durchschnittspreis des Basiswerts über einen bestimmten Zeitraum abhängt. Z.B. Asian Call zahlt $max(\text{Durchschnitt}(S) - K, 0)$. Solche Durchschnittsoptionen glätten extrem volatile Bewegungen, sind oft günstiger und werden in Rohstoff- und Energiemärkten genutzt (zur Absicherung gegen den Durchschnittspreis eines Monats, statt dem Spotpreis an einem Tag). Eine Besonderheit ist, dass für derartige Strukturen meist keine analytische Lösung existiert (außer bei geometrischem Durchschnitt), Monte Carlo oder PDE muss herangezogen werden.
• Lookback-Optionen: Diese Optionen "blicken zurück" auf den bisher erreichten Extremwert des Basiswerts. Ein Lookback-Call zahlt am Ende $S_{\max} - K$ (die Differenz zwischen maximal beobachtetem Kurs während der Laufzeit und dem Strike), sofern positiv[94]. Im Extremfall, Floating-Strike Lookback, bekommt man z.B. $S_T - \min(S)$ – was quasi "perfekt getimed" den billigsten Einstieg simuliert und so maximalen Payoff garantiert. Lookbacks sind sehr teuer, da sie dem Inhaber den Luxus geben, das beste Kursniveau der Vergangenheit auszunutzen. Ihre Bewertung ist anspruchsvoll, aber es gibt geschlossene Formeln für einige (floating/fixed) im Black-Scholes-Rahmen.
• Chooser-Optionen: Der Inhaber darf zu einem bestimmten Zeitpunkt entscheiden, ob die Option ein Call oder Put sein soll[95]. "As you like it"-Optionen bieten Flexibilität, kosten daher mehr als ein einzelner Call/Put, aber weniger als Summe aus Call+Put (in der Summe hätte man Put-Call-Parität = Forward). Chooser-Optionen haben geschlossene Lösungen (Garman 1993 etc.), die clever die Symmetrie ausnutzen.
• Bermuda-Optionen: Optionen, die an mehreren festgelegten Terminen ausübbar sind (eine Zwischenform zwischen amerikanisch und europäisch)[96]. Der Name deutet an: wie Bermuda geografisch zwischen US und Europa liegt. Bewertung erfolgt typischerweise über Binomial oder PDE mit diskreten Ausübungsfenstern.
• Digitale (Binary) Optionen: Zahlen einen festen Betrag aus, wenn der Basiswert ein bestimmtes Niveau überschreitet (Call-Digital) oder nicht überschreitet (Put-Digital). Sie sind diskontinuierlich im Payoff. Viele Strukturen z.B. im Devisenmarkt (sogenannte "one touch" = zahlt $1$, sobald Kurs Barriere erreicht; "no touch" = zahlt $1$, falls Barriere nie erreicht). Digitals sind Bausteine in strukturierten Produkten, lassen sich als Derivate erster Ableitung von Vanillas verstehen (die Delta von Digital = "Dirac-Peak" – daher Nutzung in Modellkalibrierung).
• Exotische Pfadstruktur: Range-Options zahlen z.B. die Länge der Zeit (oder Anzahl der Tage), die ein Underlying in einer bestimmten Range verbringt[97]. Forward Start Options starten erst in der Zukunft (etwa Option, die in einem Jahr als at-the-money Call beginnt – relevant für Variable Vergütungen etc.). Cliquet-Optionen sichern periodische Gewinne: z.B. am Ende jedes Jahres wird die Performance begrenzt und "gelockt", und negative Jahre setzen nicht auf 0 zurück.
• Compound Options: Optionen auf Optionen – z.B. eine Call-Option, die das Recht gibt, später einen Put zu kaufen. Theoretisch in BS bewertbar mit iterierter Anwendung.

Die Anwendung exotsicher Optionen ist vielfältig: - Unternehmen in Rohstoffbereichen nutzen Asian-Optionen, um Durchschnittspreisgarantien zu erhalten (z.B. asiatischer Put schützt gegen langanhaltend niedrige Preise). - Barrier-Optionen sind in strukturierten Produkten für Privatanleger verbreitet (z.B. Knock-Out Warrants/Turbos haben Barriere = Strike, verfallen sofort bei Berühren). - Versicherungsähnliche Konstrukte, z.B. Kapitalschutz-Zertifikate, kann man als Kombinationen exotischer Optionen ausdrücken (Cliquet-Strukturen). - Im interbanken OTC-Markt werden exotische Zinsoptionen gehandelt (z.B. Bermudan Swaptions, die es dem Inhaber erlauben, zu bestimmten Terminen einen Swap einzugehen – diese werden via Lattice oder Monte Carlo bewertet und setzen implizit auf Zinsstruktur-Volatilitätskurven).

Bewertung exotischer Optionen: Oft keine geschlossenen Lösungen, aber Payout lässt sich oft in "Stücke" zerlegen oder mit stochastischen Methoden behandeln. Monte Carlo ist universell, aber bei Pfadabhängigkeit eventuell langsam (Antithetic & Kontrolle tricksen). Finite Differenzen können mit Zusatzdimensionen (z.B. Keep-Track der Min/Max als extra Dimension) erfolgen, was rechenintensiv ist. Der Markt benutzt daher für Standard-Exoten wie Barriers teils semianalytische Methoden (Reflexionsprinzip für Barrieren im BS). Calibration der exotischen Pricing-Modelle an Vanilla-Smiles ist wichtig – exoten sind oft Smile-sensitiv: z.B. der Preis eines Barrier-Options hängt davon ab, was man an Volatilität jenseits der Barriere unterstellt (er ist nicht eindeutig in BS mit konstant σ zu bestimmen, da in Realität Variation).

Exotische Optionen zeigen die Kreativität im Derivatemarkt: Praktisch jede erdenkliche Auszahlungsstruktur kann entworfen werden, wenn es Bedarf gibt. Damit der Handel zustande kommt, müssen aber beide Seiten die Bewertung nachvollziehen können – oft werden Exoten deshalb in einfachere Bestandteile synthetisiert (z.B. barrier = vanilla - knock-in, etc.). Für Markteinsteiger sind Exoten anspruchsvoll, aber sie folgen denselben Grundprinzipien (Arbitragefreiheit, Erwartungsbewertung). Insbesondere unterstreichen sie die Bedeutung der Volatilitätsoberfläche: Der Preis einer exotischen Option ergibt sich aus einem integralen Effekt aller relevanten impliziten Volas. Banken müssen daher, wenn sie exotische Option verkaufen, die entsprechenden Smile-Risiken (z.B. Vega in verschiedenen Strikes, Skew-Exposure) hedgen, oft mittels Portfolio von Vanillas.

Zusammenfassend sind exotische Optionen angepasste Derivate mit speziellen Eigenschaften[98]. Sie werden genutzt, um exakt auf Kundenbedürfnisse einzugehen oder um Strategien effizienter abzubilden als mit mehreren Standardoptionen. Ihre Bewertung erfordert fortgeschrittene Methoden, bleibt aber ein faszinierendes Anwendungsfeld der Finanztechnik.

Wetter-, Energie- und Versicherungsderivate

Neben den klassischen Finanzderivaten auf Märkte wie Aktien, Zinsen oder Währungen haben sich Derivate entwickelt, um nicht-finanzielle Risiken handelbar zu machen – etwa Wetterrisiken, Energiepreisrisiken oder Versicherungsschäden. Diese Produkte verbinden oft Elemente der Versicherungswirtschaft mit Derivateprinzipien und werden manchmal als Versicherungsderivate bezeichnet[99].

Wetterderivate

Wetterderivate dienen der Absicherung gegen finanzielle Verluste durch ungünstige Witterungsverläufe. Sie basieren auf Wetterindizes wie Temperatur, Niederschlagsmengen, Heiztagen etc. Ein Beispiel ist ein Heating Degree Day (HDD) Future: Hier wird die Summe der negativen Abweichungen der Durchschnittstemperatur unter 18°C im Monat gemessen und in einen Geldbetrag umgerechnet. Ein Energieversorger, dessen Gasabsatz vom Winter abhängt, könnte einen HDD-Swap abschließen – erhält Zahlung, wenn der Winter mild (wenig HDD) ist, zahlt bei strengem Winter (viel HDD), um sein Ertragsrisiko auszugleichen.

Wetterderivate sind in der Regel indexbasiert (es geht nicht um tatsächlichen Schaden, sondern um Parameter)[99]. Beispielsweise zahlt ein Temperaturderivat $Payout = Max(0, \text{Index} - K) \times \text{Multiplikator}$. Index kann z.B. Summe täglicher Durchschnittstemperaturen sein. Diese Parameter sind objektiv messbar (Wetterstationen) und unabhängig vom individuellen Unternehmen – im Gegensatz zur traditionellen Versicherung, wo ein spezifischer Schaden reguliert wird. Das macht standardisierte Derivate möglich: z.B. an der CME werden Wetter-Futures auf viele US-Städte gehandelt.

Die Bewertung solcher Derivate ist herausfordernd, da Wetter keine klassische Arbitrage-Beziehung mit handelbaren Assets hat. Man nutzt Ansätze der Actuarials (Versicherungsmathematik): Häufig wird von Risikoprämien ausgegangen und Modelle passen sich an historische Wetterdaten an. Es gibt Versuche, ein Martingalmaß via Wetter-Contingent Commodity herzustellen – z.B. Gaspreis und Temperatur in Kombination (sogenannte Quantos)[100].

Praxis: Typische Nutzer sind Energieunternehmen, Landwirtschaft (Ernteversicherung via Derivat), Tourismus (Skiresort will sich gegen warmen Winter absichern). Der Markt hatte einen Aufschwung um 2005, aber bleibt relativ klein und oft OTC.

Energie- und Rohstoffderivate

Zwar sind Energiepreise (Öl, Gas, Strom) an sich finanzielle Underlyings, jedoch weisen speziell Stromderivate Besonderheiten auf: Strom kann kaum gespeichert werden, daher folgt sein Preis eigenen Dynamiken (Spikes bei Knappheit). Es gibt Strom-Futures an Energiebörsen, und darauf aufbauend auch exotischere Strukturen (z.B. Swing-Optionen: Recht, über Zeitraum eine flexible Menge Strom abzunehmen, mit Ober-/Untergrenzen pro Tag – wichtig für Kraftwerksbetreiber, Gaslieferverträge mit Take-or-Pay sind analog).

Energieproduzenten nutzen Revenue Swaps: z.B. ein Ölproduzent könnte einen "Collar" abschließen (Put kaufen, Call verkaufen auf Öl), um eine Preisband-Garantie zu haben. Im Bereich Gas und Strom gibt es Spread-Optionen (Crack-Spreads: Differenz z.B. zwischen Öl- und Gaspreis, relevant für Kraftwerke). Der Emissionshandel hat auch Derivate (CO2-Zertifikate-Futures, Optionen).

Insurance-Linked Securities (ILS) sind im weitesten Sinne Derivate, die Versicherungsrisiken handelbar machen: - Katastrophenanleihen (Cat Bonds): Anleihen, bei denen im Falle einer definierten Katastrophe (z.B. Hurrikan über Stärke X in Region Y) der Kupon und/oder Rückzahlung gekürzt wird. Investoren erhalten also hohe Zinsen als Entschädigung für das Risiko, bei seltenem Ereignis Verluste zu erleiden. Versicherungsgesellschaften nutzen Cat Bonds, um Spitzenrisiken an den Kapitalmarkt auszulagern. - Aktienanleihen auf Versicherungsindizes: Es gibt Versuche, einen globalen Versicherungsindex zu definieren (etwa Property Claim Index) und Derivate darauf zu handeln, sodass Versicherer sich gegen aussergewöhnliche Schadenjahre absichern können (z.B. via Index-Option). - Longevity Derivatives: Pensionskassen lagern Langlebigkeitsrisiko aus – Swaps, bei denen Zahlungen abhängig von tatsächlicher Lebenserwartung im Vergleich zur erwarteten erfolgen. Damit kann ein Hedge gegen den Fall aufgestellt werden, dass Rentner länger leben als kalkuliert.

All diese Instrumente folgen dem Prinzip, Risiken handelbar und verteilbar zu machen, die zuvor bei einzelnen Trägern konzentriert waren. Die Bewertung erfordert oft interdisziplinäre Modelle (z.B. meteorologische Modelle, versicherungsmathematische Sterbetafeln) plus Annahmen über Risikoaversion, da keine exakte Arbitrage möglich ist – man kann das Wetter nicht hedgen wie eine Aktie durch short gehen. Daher werden oft Risikoprämien auf statistisch erwartete Verluste aufgeschlagen. Ein Cat Bond z.B. wird so gepreist, dass er im Erwartungswert dem Investor den risikofreien Zins plus eine Spreadprämie zahlt, die dem versicherungsmathematischen Verlust plus einer Risikoprämie entspricht. Das Konzept des Expected Shortfall ist hier analog: Der Investor möchte kompensiert werden für die schweren Tail-Verluste.

Marktentwicklung: Wetter- und Insurance-Derivate wurden zunächst OTC zwischen Spezialisten gehandelt. Inzwischen gibt es standardisierte Kontrakte (CME Weather Futures, Cat-Bond Indizes). Das Volumen ist aber im Vergleich zu klassischen Finanzderivaten gering. Dennoch sind sie wichtig, da sie eine Brücke schlagen zwischen Kapitalmarkt und realwirtschaftlichen Risiken (Stichwort: Alternative Risikotransfer).

Zusammengefasst: Wetter-, Energie- und Versicherungsderivate erweitern die Einsatzfelder der Derivate auf Risiken des Alltags (Wetter, Katastrophen, Nachfrage). Die Konstruktion orientiert sich an bekannten Derivate-Strukturen (Swaps, Optionen), aber die Bewertung stützt sich oft auf historische Statistiken mangels Arbitragepfaden. Diese Produkte ermöglichen es Unternehmen, sich gegen z.B. einen warmen Winter oder einen Hurrikan-Schaden abzusichern, indem sie die finanzielle Auswirkungen über den Markt verteilen. Damit werden Risiken besser diversifiziert global getragen – allerdings sind sie auch komplex und erfordern, dass Investoren bereit sind, diese speziellen Risiken in ihr Portfolio aufzunehmen.

Modellierung und numerische Verfahren: Vertiefung

In diesem vertiefenden Abschnitt betrachten wir fortgeschrittene theoretische Konzepte der Optionspreis-Bewertung und Zinsderivate-Modellierung. Hier geht es um die formale Grundlage der modernen Derivatebewertung, insbesondere Martingalmaßnahmen und komplexe Zinsmodelle, sowie um spezielle Anpassungen in der Praxis.

Martingale und Wahrscheinlichkeitsmaße

Die arbitragefreie Bewertung von Derivaten basiert – formal gesehen – auf der Existenz eines risikoneutralen (Martingal-)Maßes. Der sogenannte Fundamentalsatz der Arbitragepreistheorie besagt: Ein marktgetriebenes Preismodell ist genau dann arbitragefrei, wenn es ein äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß $Q$ gibt, unter dem alle diskontierten Preisprozesse Martingale sind[101]. Insbesondere existiert dann eine eindeutige risikoneutrale Erwartungsbewertung für jedes Derivat. Anders gesagt: In einem arbitragefreien Markt kann man so tun, als hätten alle investierbaren Vermögenswerte die erwartete Rendite = risikofreier Zins (unter $Q$), und der Derivatpreis ist einfach der Barwert seines erwarteten Payoffs unter dieser künstlichen Wahrscheinlichkeit.

Um dies zu konkretisieren: Angenommen wir haben einen Aktienkursprozess unter dem realen Maß $P$ mit Drift $μ$ und Volatilität $σ$. Existiert ein risikoneutrales Maß $Q$, so sieht der Prozess unter $Q$ aus wie derselbe mit Drift $r$ (risikofreier Zins). Der Effekt der Marktrisikoprämie ist wegtransformiert, indem man die Wahrscheinlichkeiten neu gewichtet (etwa via Radon-Nikodym-Derivat). Unter $Q$ gilt dann der Preis eines Derivats $V(t) = e^{-r (T-t)} E^Q[V(T) | \mathcal{F}_t]$, der diskontierte Preis ist also ein Martingal.

Die Konstruktion des Martingalmaßes erfolgt in diskreten Modellen über Änderung der Wahrscheinlichkeiten (z.B. im Binomialmodell ist $π$ die risikoneutrale Wkt und wird aus $u,d,r$ bestimmt). In stetigen Modellen geschieht es via Girsanov-Theorem, welches angibt, wie aus einem Drift $μ$ ein Drift $r$ wird durch passende Marktpreis-of-Risk Parameter. Der process $W^Q(t) = W^P(t) - \frac{μ - r}{σ} t$ wird unter $Q$ wieder ein Wiener-Prozess mit 0 Drift.

Die Bedeutung dieses Konzepts ist enorm: Es erlaubt die hochkomplexen Probleme der Gleichgewichts-Bewertung (wofür traditionell Risikoaversion etc. nötig wäre) in eine technischere Aufgabe der Maßänderung und Erwartungsberechnung umzuwandeln. Solange Märkte arbitragefrei sind (was in liquiden Märkten plausibel ist) und vollständig genug, um alle Risiken abzubilden, kann man $Q$ nutzen.

Äquivalenz der Maße ist wichtig: $Q$ muss Ereignissen keine Null-Wkeiten geben, die unter $P$ positive Wkeit hatten (keine neuen "unmöglichen" Ereignisse einführen), um die ökonomische Interpretation zu wahren.

Für praktische Anwendung: - Black-Scholes nutzte implizit das Martingalmaß (die $μ$-Eliminierung in der Herleitung ist genau dieser Schritt). - In Zinsstrukturmodellen gibt es mehrere relevante Maße: Spot-Maß, Forward-Maß etc. je nach Numéraire. Beispielsweise wechselt man oft zum Forwardmaß, in dem der diskontierte Forward Bond-Preis Martingal ist, was Pricing von Zinsderivaten vereinfacht.

Die Martingalmaßtheorie liefert auch Tools, wie man Preise komplexer Derivate herleitet: Der Preis ist $E^Q[\text{Diskontfaktor} \times \text{Payoff}]$. In diskontinuierlichen Prozessen (mit Sprüngen) bedarf es Erweiterungen (z.B. Martingal-Darstellung mit Sprungterminen, Verwendung von Zuwachsmartingalen etc.). Aber das Grundprinzip bleibt: Preis = risikoneutraler Erwartungswert.

Eine weitere Erkenntnis: Wenn Märkte inkomplett sind (nicht alle Risiken hedgebar, kein eindeutiges $Q$), gibt es unendlich viele äquivalente Martingalmaße. Dann ist Derivatbewertung nicht eindeutig – es bedarf zusätzlicher Annahmen (Nutzenmaximierung etc.) oder Vollständigstellung durch erweiterte Assets. In der Praxis betrachtet man dann ein plausibles Modell (z.B. stoch. Vol-Modell) und wählt Parameter so, dass ein $Q$ fixiert wird (z.B. durch Optionpreise kalibriert). Hier berührt man auch die Welt der Real- vs. Risikoneutral: Ausfallwahrscheinlichkeiten z.B. lassen sich unter realem Maß schätzen (aus historischen Daten) vs. aus Marktpreisen (risikoneutrale implizite PD). Der Unterschied spiegelt die Risikoprämie.

Zusammengefasst: Martingalmaße liefern den theoretischen Unterbau für Derivatebewertung, indem sie die Intuition "alle risikolosen Arbitragegewinne eliminiert" in mathematische Strenge fassen. Die Existenzaussage ${\exists Q: keine Arbitrage} \iff {\exists Q: diskontierte Preise Martingale}$[101] ist fundamental.

Im Risikomanagement sind Martingalüberlegungen ebenfalls präsent: Wenn man z.B. mit historischer Simulation kalkuliert, nutzt man das Realmaß $P$. Wenn man jedoch Marktdaten (z.B. implizite Volatilitäten) benutzt, argumentiert man mit risikoneutraler Sicht. Das Bewusstsein, in welchem Maß man rechnet, ist wichtig, um Missverständnisse zu vermeiden.

Zinsderivate: Die Standard-Market-Modelle

Unter Standard Market Models bei Zinsderivaten versteht man Modelle, die direkt an Marktquotierungen (typischerweise der Volatilität von standardisierten Instrumenten wie Caps/Floors und Swaptions) anknüpfen und diese konsistent bewerten. Der Begriff "Market Model" wurde insbesondere durch das LIBOR Market Model (LMM) bekannt, aber zuvor gab es vereinfachte Varianten.

Zunächst zu den Standard-Zinsderivaten: - Forward Rate Agreement (FRA): ein Forward-Kontrakt auf einen Zinssatz (z.B. in 3 Monaten für die Periode 3-6 Monate). Bewertung via Zinsstruktur trivial: es ist die Terminrate implied by Zero-Kurve, Abrechnung im Voraus. - Zinsswaps: lassen sich als Portfolios von FRAs ansehen; Bewertung über Differenz zweier Anleihe-Barwerte (Fixed vs Floating). - Caps und Floors: Ein Cap ist im Grunde eine Serie von europäischen Call-Optionen auf zukünftige Kurzfristzinssätze (z.B. 3M-LIBOR) pro Periode – sogenannte Caplets. Ein Floor analog aus Puts (Floorlets). Ein Cap sichert einen maximalen Zinssatz: Zahlt, falls LIBOR > Strike, die Differenz auf den Nominal für die jeweilige Periode. - Swaptions: Option, einen Zinsswap einzugehen. Payer-Swaption = Recht, am Starttermin einen festen Zinssatz zu zahlen (also von steigenden Zinsen profitieren).

Die Marktpraxis bewertet Caps/Swaptions oft mit dem Black-76-Modell: Der Forward-Zinssatz für die jeweilige Periode wird als Underlying gesehen, Volatilität entnimmt man der Markt-Vol-Skala (Cap-Vols sind kotiert). So erhält man Caplet-Preise. Summiert über alle Caplets = Cap-Preis. Dies setzt voraus, die Forward-Zinssätze sind lognormal unter dem risikoneutralen Maß.

Nun zum Market Model: Das LIBOR Market Model (auch BGM-Modell) verallgemeinert die Idee, dass alle Forwardraten lognormal sind, aber berücksichtigt ihre Kovariationen. Es modelliert simultan die Dynamik aller relevanten $L(t; T_i, T_{i+1})$ Forward-Raten (z.B. 6M-LIBORs) als:

mit $dW_i$ korreliert via $dW_i \cdot dW_j = \rho_{ij} dt$. Unter einem passenden Maß (Terminal Measure) sind die Drifts so gewählt, dass Modell arbitragefrei (μ aus $\sigma,\rho$ berechnet mit HJM-Bedingungen). Das LMM ist populär, da es direkt mit Caplet-Volatilitäten als Input kalibriert wird (jede $σ_i(t)$ wird so gewählt, dass die Modellpreise der Caplets den Marktdaten entsprechen) und Kovarianzen so eingestellt, dass Swaptionpreise auch passen (was auf $\rho_{ij}$ Einfluss hat). Kurz: Das LMM erklärt die Volatilitäts-Smile bei Strikes ignoriert, aber immerhin die Termstruktur der Volatilitäten und Korrelationen.

Vor LMM gab es vereinfachte "1-Faktor-Modelle", bei denen man annahm, alle Forward-Raten haben dieselbe stochastische Treiber (voll korreliert). Das führt z.B. zum Brace-Musiela 1-Faktor Modell. Aber in Realität brauchen wir mehrere Faktoren um das Bewegungsmuster der Zinskurve abzubilden (typisch ~3 Hauptfaktoren: Parallel, Steepness, Curvature). LMM kann mehrere Faktoren durch unterschiedliche $W_i$ und Korrelationen darstellen.

Standard Market Models könnte auch das Black-Modell zur Swaption-Bewertung meinen: Markt üblich ist, Swaptions analog Black76 zu bepreisen, mit Annahme lognormaler Forward-Swap-Sätze. Das sog. Jamshidian-Trick ermöglicht es, eine Swaption in einen Satz von Caplets zu zerlegen bei 1-Faktor-Modellen.

HJM (Heath-Jarrow-Morton) im nächsten Abschnitt ist die allgemeine Zinsstrukturmodellierung aus PDE-Sicht; Market Models sind dagegen Marktpraktiker-getriebene Spezialfälle mit meistens lognormaler Annahme.

Konvexitätsanpassungen & Daycount: In der Realität müssen Market Models noch um technische Details ergänzt werden. Z.B. FRAs vs Futures: Ein Eurodollar-Future hat eine leicht andere Abrechnung als ein FRA, sodass man einen Convexity Adjustment anwenden muss (im 1-Faktor Normalmodell: $Adjustment \approx \frac{1}{2} σ^2 t_1 t_2$ etc.). Standard Market Models beinhalten das implizit: Der Future-Preis wird zum entsprechenden Forward etwas höher sein (da daily settlement vs. end settlement).

Quantos: Falls man z.B. USD-Zinsoptionen hat, die aber in EUR ausgezahlt werden, muss man im Modell das Quanto-Drift-Adjustment berücksichtigen – der risikoneutrale Prozess ändert sich, indem die Differenz der numéraires (Wechselkurse) in den Drift eingeht[100].

Fazit: Die Standard Market Models (insb. LIBOR Market Model) haben den Vorteil, direkt beobachtbare Marktvolatilitäten als Input zu nehmen und damit konsistente Preise für die liquidesten Zinsoptionen (Caps, Swaptions) zu liefern. Sie bilden gewissermaßen das Gegenstück im Zinsbereich zum Black-Scholes im Aktienbereich: Einfach, intuitiv (lognormal Zinsforwards analog lognormal Aktien), aber sie stoßen an Grenzen, wenn Volatilität lächelt oder extremer wird (dann bräuchte man stoch. Vol oder normale Modelle, siehe unten HJM und Markterweiterungen).

Heute ist das LMM mit Erweiterungen (stochastische Volatilität, quasi-Gaussian etc.) nach wie vor im Einsatz bei vielen Banken, weil es gut an Marktquotierungen kalibriert werden kann. Es hat formal viele Parameter (jede Forward Rate eigene Vol-Funktion plus Korrelationsmatrix), aber die werden aus dem Cap/Swaption-Markt "eingestellt". So wird sichergestellt, dass das Modell zumindest die Vanilla Zinsoptionen perfekt preisstellt.

Anpassung: Konvexität, Zahlungstermine und Quantos

In der Praxis der Zinsderivatebewertung treten einige feine Anpassungen auf, die im theoretischen Grundmodell oft nicht unmittelbar sichtbar sind. Dazu gehören insbesondere Konvexitätsanpassungen, Effekte unterschiedlicher Zinsperioden (Daycount und Compounding), sowie die Bewertung sogenannter Quanto- oder Cross-Currency-Effekte.

Konvexitätsanpassung: Dieser Begriff erscheint z.B. beim Vergleich von Forward Rate Agreements (FRAs) und entsprechenden Futures-Kontrakten (Eurodollar Futures). Ein Futures wird täglich über Variation Margin abgerechnet, während ein Forward erst am Ende bezahlt wird. Dieser Unterschied führt dazu, dass der Futures-Kurs leicht vom theoretischen Forward-Preis abweicht. Die Abweichung – die Konvexitätskorrektur – resultiert aus der Korrelation zwischen Zinsänderungen und Zinsniveaus. Intuitiv: Wenn Zinsen steigen, erfolgt bei einem Long-Futures täglich ein Gewinn-Cashflow, der nun zu höherem Zins wieder angelegt werden kann (umgekehrt bei Verlust). Dadurch hat der Future einen leichten Vorteil gegenüber dem Forward. Die Konvexitätsanpassung kann analytisch approximiert werden; in einem 1-Faktor-Modell ergibt sich z.B. $\text{Adjustment} \approx \frac{1}{2} σ^2 T_1 T_2$ (mit $T_1, T_2$ Start und Endzeit des FRA). Allgemein muss diese Korrektur berücksichtigt werden, wenn man aus Futures-Preisen implizite Forward-Rates ableitet und umgekehrt. In Market Models ist die Konvexität implizit in den Drifts. In HJM-Terms: Futures-Preis = $E[Forward] + \frac{\text{Var}}{2}$ (analog Jensen's Inequality aufgrund der Nichtlinearität des exponentiellen Abzinsens). Praktisch wird z.B. bei Euribor-Futures vs FRA-Sätzen eine Adjustierung vorgenommen, wenn exakte Arbitrage fehlen könnte.

Zahlungstermine und Daycount: Zinsderivate zahlen je nach Konvention bestimmte Beträge an festgelegten Terminen. Beispielsweise ein Swap zahlt alle 6 Monate Zinsen. Das Timing der Zahlungen kann eine Bewertungsdifferenz verursachen, insbesondere bei nicht regelmäßigen Frequenzen. Ein prominentes Beispiel ist die Curve-Interpolation: Für exakte FRA-Werte bei speziellen Laufzeiten (z.B. 5x8 FRA = 5 Monate bis Start, 3 Monate Länge) muss die Zinskurve ggf. interpoliert werden. Wenn man die Diskontfaktoren aus Swaps extrahiert, nutzt man oft Bootstrapping. Dabei entstehen mitunter kleine Inkonsistenzen, die als "Convexity Adjustment" bei Interpolationsmethoden korrigiert werden müssen.

Zudem gab es in der Finanzkrise die Erkenntnis, dass Zinskurven mehrfach geführt werden müssen: Eine OIS-Discounting-Kurve (nahe risikofrei) vs eine Forward-Kurve für z.B. 3M-LIBOR. Früher hat man aus Swap-Raten (die 6M-Libor basieren) die Diskontfaktoren gewonnen. Nach 2008 divergierten OIS und Libor-Spreads, sodass man seither Diskontkurve (OIS) und Forward-Kurve trennt. Die Bewertung von z.B. einem 3M-FRA erfordert also OIS-Diskontierung und separate 3M-Forward-Abzinsung. Das an sich ist kein "Convexity" Problem, aber eine Anpassung im Standardmodell (Mehrkurvensystem).

Quantos (Cross-Currency): Quanto bedeutet, dass ein Derivat in einer anderen Währung als der des Basiswerts abgerechnet wird. Dies ist häufig in FX oder bei internationalen Equity-Linked-Deals. Beispiel: Ein Investor möchte an den US-Aktienkursen partizipieren, aber in EUR ausgezahlt werden, ohne Wechselkursrisiko. Eine Quanto-Option auf den S&P 500 in EUR würde genau dies tun: Sie gibt die USD-Entwicklung wieder, konvertiert aber zum fixierten Wechselkurs (beseitigt FX-Einfluss). Für die Bewertung muss man ein Drift-Adjustment durchführen: Unter dem EUR-risikoneutralen Maß hat der S&P 500 einen anderen Drift als unter dem USD-Maß, nämlich Differenz der Zinssätze. Allgemein, wenn man ein Asset (Aktie oder Index) aus Währungsraum X hat, der Optionspreis aber in Währung Y ausgedrückt wird, kommt ein Term $r_Y - r_X$ in den effektiven Drift. Dieser sog. Quanto-Drift kann interpretiert werden als: Man sichert fortlaufend die Wechselkursposition, was Kosten/Erlöse in Höhe der Zinsdifferenz zwischen den beiden Währungen erzeugt. Folglich wird im Modell der erwartete Wachstum des Basiswerts angepasst.

Beispiel: Eine Quanto-Call auf US-Aktie, in EUR: Hier muss die erwartete Rendite der US-Aktie unter EUR-Maß = US-Aktien-Dividendenrendite - (Eurozins - US-Zins) sein. Ist Eurozins < US-Zins, hat die Aktie im EUR-Maß höheres Drift (da Halten in USD ist teurer -> muss belohnt werden). Konkreter: Der Preis kann aus dem USD-Black-Scholes-Preis abgeleitet werden, multipliziert mit einem Faktor $\exp((r_{US}-r_{EU})T)$ oder so ähnlich, und Volatilität bleibt gleich. Viele exakte Formeln existieren z.B. im Fall von Quanto-Futures etc.

Noch ein Aspekt: Cross-Currency Swaps – hier tauscht man Zinszahlungen in zwei Währungen plus Nominal. Die Bewertung erfordert beide Zinskurven und den aktuellen FX-Kurs. Im risikoneutralen Setup wird eine Basis (Cross-Currency-Basis) beobachtet, weil z.B. ein USD-Libor vs EUR-Libor Tausch nicht 1:1 auf OIS par ist – es gibt einen Cross-Currency Basis Spread, der wiederum eine Anpassung am Modell (speziell Multi-Curve) verlangt.

Im Wesentlichen sind diese Anpassungen Feinheiten, um Realitäten des Marktes in die Modelle einzubauen: - Konvexität: Korrektur für Nichtlinearitäten wie Future vs Forward. - Unterschiedliche Zahlungstermine/Perioden: Multi-Kurve-Frameworks. - Quantos: Berücksichtigung von Korrelation/Wechselkurs-Absicherung in der Bewertung.

Sie erfordern oft, dass man im Modell den Numéraire wechselt: z.B. von domestic Währung zu foreign Währung in Quanto – das Girsanov-Theorem liefert dann den Additional Drift. Gleiches gilt für die Wahl des Numéraire bei Zinsmodellen (Bond-Numéraire vs Cash-Account etc.).

Für Praktiker heißt das: In Pricing-Systemen hat man Module, die z.B. aus Futures-Preisen FRAs ableiten mit Correction, oder die Cross-Gamma Terms in FX ausspeien. Die Korrekturen sind meist klein, können aber bei großen Notional und langen Laufzeiten signifikant werden. Insbesondere in der Bilanzierung von Hedge-Beziehungen (nach IFRS) müssen solche Effekte ggf. als Ineffektivität erkannt werden.

Zinsderivate: Die Short-Rate-Modelle

Short-Rate-Modelle sind klassische Gleichgewichtsmodelle zur Beschreibung der Zinsstruktur. Sie modellieren direkt die zeitliche Entwicklung des kurzfristigen Zinssatzes $r(t)$ (Instantanzins, oft heuristisch verbunden mit Overnight-Rate oder kurz laufenden Bonds), und leiten daraus die gesamte Zinsstruktur (Zero-Kurve, Bond-Preise) ab. Bekannte Short-Rate-Modelle sind das Vasicek-Modell, Cox-Ingersoll-Ross (CIR), Hull-White (extended Vasicek), Black-Karasinski etc.

• Vasicek-Modell (1977): $dr(t) = a [b - r(t)] dt + σ dW(t)$. Es ist ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess: $r(t)$ driftet zum langfristigen Mittel $b$ mit Stärke $a$ (Mean Reversion) und weist konstante Volatilität $σ$ auf[102]. Lösung: $r(t)$ ist normalverteilt zu jedem Zeitpunkt (kann also auch negativ werden). Das Modell hat den Vorteil, Bond-Preise analytisch ausdrücken zu können: $P(t,T) = A(t,T) \exp(-B(t,T) r(t))$, wobei $A, B$ deterministische Funktionen. Von diesen wiederum kann man Zero Rates, Forward Rates ableiten. Pricing: Europäische Zinsoptionen (Caps etc.) haben geschlossene Formeln, Swaptions können über die berühmte Jamshidian-Dekomposition (ein Swaption = Portfolio von ZCB-puts) oder über erweiterte Fouriermethoden gelöst werden. Vasicek ist historisch wichtig, aber unpraktisch bei starker geforderter Positivität (neg. r war damals uninteressant, heute real aber positiv).
• CIR-Modell (1985): $dr = a [b - r] dt + σ \sqrt{r} \, dW$. Ähnlich Vasicek, aber die Volatilität ist $\sigma \sqrt{r}$, wodurch $r(t)$ immer nichtnegativ bleibt (da bei $r=0$ Diffusion term = 0). $r(t)$ hat Nonzentrale-Chi-Quadrat-Verteilung. Bondpreisformeln existieren ebenfalls (affine Form). CIR bildet die Volatilität der Zinsänderungen proportional zum Zinsniveau ab, was empirisch sinnvoll erschien (bei hohen Zinsen fluktuieren Zinsen prozentual stärker). Es wurde etwa in der Pricing von Zero-Coupon-Bond-Optionen und Kapitalgarantien verwendet.
• Hull-White-Modell (1990): $dr = a [\theta(t) - r] dt + σ dW$. Es ist im Kern Vasicek, aber mit zeitabhängigem Mean-Reversion-Level $\theta(t)$. Dadurch kann es an die gegebene heutige Zinskurve kalibriert werden (im Original Vasicek sind Langfristmittel $b$ und $a$ fix, so nur eine Kurvenfamilie). Mit $\theta(t)$ als Funktion passt man initiale Zinsstruktur perfekt an. Hull-White ist analytisch weiterhin handhabbar (Gauss-Prozess). Es war lange Standard, um z.B. Caps/Swaptions in Bäumen zu bewerten (Bäume für $r(t)$).
• Black-Karasinski (1991): Ein lognormales Short-Rate-Modell: $d(\ln r) = ...$ – tatsächlich formuliert als $x = \ln(r)$ folgt Ornstein-Uhlenbeck. Dadurch bleibt $r$ positiv. Allerdings gibt es keine einfachen Closed Forms für Bonds (nur Approximation). BK war beliebt im marktorientierten Umfeld, weil es $r$ > 0 gewährleistet und flexible Kalibrierung erlaubte.

Allgemein, Short-Rate-Modelle werden via Parameter-Fitting an Marktdaten angepasst: Sie versuchen, mit wenigen Parametern (a, b, σ etc.) möglichst gut die beobachtete Zinskurve und Optionpreise zu reproduzieren. Mit $\theta(t)$ bzw. Extended-Parameter sogar exakte Fit an Kurve. Jedoch, mit nur einem Faktor können sie die Volatilitätsstruktur (Caplet Vols & Swaption Vols) nur eingeschränkt treffen. Z.B. Hull-White 1-Faktor generiert bestimmte Muster, oft ist der Markt-Smirk flacher/steiler. Daher kann man sie auf 2-Faktoren erweitern (z.B. Hull-White 2F: Summe aus zwei OU-Prozessen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten und Gewichten – das kann mehr Varianz und Korrelationsstruktur im Term-Structure-Shifts darstellen).

Für die Bewertung von Derivaten: - Caps und Floors: 1-Faktor-Modelle geben explizite (oder semi-explicit) Formeln. - Swaptions: Oft über Simulation oder Gitter, oder Approx-Fkts (Jamshidian: Swaption = Summe Caplets gilt bei 1-Faktor-Modellen; dieses Trick ermöglicht Preisschätzung). - Exotische Zinsprodukte (CMS Spread Options, Bermudan Swaptions) – hierfür nutzt man meist Numerik (Monte Carlo, PDE).

Heutzutage wurden Short-Rate-Modelle in der Praxis vom HJM/LMM-Ansatz abgelöst, weil diese leichter die Vol-Smile und Multi-Faktor-Kalibrierung schaffen. Allerdings erlebt Gaussian Short Rate (Hull-White) ein Revival in XVA-Berechnungen oder als Komponente in Hybriden (leicht zu handle).

In der Lehre bleiben Vasicek/CIR fundamental, um Konzepte wie Mean Reversion und affine Termstruktur aufzuzeigen. CIR z.B. wurde auch für Kreditspread (JLT model) eingesetzt.

Zinsderivate: Das HJM- und das LIBOR-Market-Modell

Heath-Jarrow-Morton (HJM)-Framework (1992) ist ein allgemeiner Ansatz zur Modellierung der Termstruktur der Zinsen. Statt wie Short-Rate-Modelle bei $r(t)$ anzusetzen, modelliert HJM direkt die Dynamik der Forward Rate Kurve $f(t,T)$ (die momentane jährliche Instantan-Zinssatz, der am Zeitpunkt $t$ für Termin $T$ gilt). Es gibt eine Familie $f(t,T)$ für $T \ge t$, und HJM liefert eine partiell-stochastische DGL dafür. Kernidee: Wenn man die Driftbedingungen (Martingalmaß-Bedingungen) formuliert, erhält man eine Beziehung zwischen Drifts und Volatilitätsstrukturen:

und es lässt sich zeigen (unter risikoneutralem Maß), dass

also der Drift an den Volatilitätsfunktionen hängt (sogenanntes HJM-Driftkriterium)[103]. Der Vorteil: Beliebige Vorhersage der Vol-Struktur $\sigma(t,T)$ sind möglich, man bekommt automatisch den konsistenten drift. So kann man z.B. calibraten: wähle $\sigma(t,T)$ so, dass es Caplet-Vols matcht, dann $α$ passt sich an für Arbitragefreiheit.

HJM ist eher ein Framework als ein konkretes Modell. Bestimmte Wahl der $\sigma$ führen zu bekannten Modellen: - $\sigma(t,T) = const = σ$ (zeit- und Term-unabhängig) => das ergibt das Ho-Lee Modell (1986) wenn umgesetzt in short-rate Terminologie (Ho-Lee war erstes "Arbitragefreies" Modell, aber mit negative rates Mglw.). - $\sigma(t,T) = σ e^{-a (T-t)}$ => das entspricht dem Hull-White Modell (Gauss 1-Faktor) in Forward-Form.

HJM in Reinform litt darunter, dass es hohe Dimension (unendlich, da $T$ kontinuierlich) hat. Praktisch wird Diskretisierung (Lattice in Tenor) benötigt. Das LIBOR Market Model (BGM) ist eigentlich die Diskretisierung der HJM für LIBOR-Forwards. LMM vs HJM: HJM modelliert Instantaneous Fwd Rates (kontinuierliche Compounded Raten), LMM modelliert LIBOR Fwds (diskrete compounding). In feiner Limit über 0-länge Perioden konvergiert LMM zu HJM.

LIBOR-Market-Modell (LMM) haben wir oben besprochen als Standard Market Model. Hier nochmal im HJM-Zusammenhang: Das BGM-Papier (1997) hat HJM auf piecewise-constant-forward-rates (LIBOR) angewandt und gemerkt: es liefert lognormal LIBORs und praktisch nützliche Parameter (Vol für jede LIBOR & Korrelation). LMM wird oft auch "Brace Gatarek Musiela" model genannt. Unter dem Terminal Measure (T_N, letztes Payment, als Numeraire) haben die LIBORs Drifts, die sich aus Korrelationen und Volas definieren.

Vor- und Nachteile: HJM (und LMM) sind sehr flexibel – man inputtet die Vol-Struktur und Korrelation nach Belieben und calibratet an Caps/Swaptions. Der Nachteil: mathematische Komplexität – z.B. ein lognormales LMM hat keine geschlossene Form für Bonds (man muss Monte Carlo nutzen). Multi-Faktor calibrations & stability – in Praxis Variation: man nimmt 3 Hauptfaktor-Korrelationen an, parametriert $\sigma_i(t,T)$ mit simple Formen (z.B. $\sigma(T) = (a + bT) e^{-cT} + d$ etc.), calibratet an ~200 Market vol quotes (Caplet & Swaption surfaces) mit least squares. Das funktioniert, aber man hat keine guarantee at tails (extrapolation).

Exotische Zinsprodukte: Bermudan Swaptions (Recht, Swap zu starten an multiplen Terminen) – LMM/HJM prädestiniert, per Monte Carlo mit Least-Squares (stoch. dyn. programming). CMS (Constant Maturity Swap) und deren Caps – LMM generiert ein Smile, aber normal LMM neigt zu lognormal biases; oft werden statt lognormal LMMs in Praxis Normal-LMM (Quasi-Gaussian) eingesetzt, weil in extremem low-rate environment lognormal unpassend (Vol-Smile in EUR Caps nach 2012 war downward sloping, lognormal LMM failte; normal volatility used, some banks switched to normal models akin to Bachelier).

Vergleich Short-Rate vs HJM: Short-Rate-Modelle (z.B. Hull-White) sind Spezialfälle von HJM mit best. $\sigma(t,T)$. HJM deckt alle Arbitragefreien ab. Der Kompromiss: Marktmodelle (LMM) speziell für calibrate. Short-Rate-Modelle aber einfacher in mathem. Handhabung (lineare PDE in Hull-White etc.), aber calibraten nur approximativ.

Zinsstruktur im LIBOR-Market-Modell: Schöne Eigenschaft: Es produziert realistisches Verhalten wie: Spread zwischen Raten mit Korrelation; does not force entire curve to move in lockstep (multi-factor yields non-parallel shifts, unlike 1-Factor short-rate where yield curve moves always pivotally around one point).

Heute, Zinsvolatilitäts-Surface (Swaption Implied Vols) haben Smiles, which LMM can't inherently produce (just one Vol for each tenor&mat, lognormal implies symmetrical distribution). Daher sind neuere approaches: Stochastic Vol in LMM (each LIBOR vol factor itself stochastically scaled; super heavy), or using SABR model for each forward rate individually plus correlation coupling. Viele Banken calibrate local-vol surfaces or "shifted SABR" to each forward to handle negative rates and smile.

Zusammengefasst: HJM ist theoretisch sauber, aber praktisch erst in Form des LMM relevant geworden. LMM dominierte ab 2000er das Pricing von Zinsoptionen. Heutige Tendenz: moderate Abkehr von rein lognormal LMM wegen Niedrigzins-Smile-Problemen; stattdessen "SABR Caplet Vol cubes" und resultierende adjustments für exotics. Theoretisch aber HJM/LMM bleiben goldener Standard im Underlying-Model.

Mehr zu Swaps

Bereits früher wurden Swaps vorgestellt – hier sollen noch fortgeschrittene Aspekte beleuchtet werden, insbesondere neuere Entwicklungen und spezielle Swap-Varianten:

• XVA und Besicherung: Früher wurden Swaps zum risikofreien Zins abgezinst, da Ausfallrisiko via Gegenpartei ignoriert oder bilateral gesehen als austariert. Heute fließen in die Bewertung von Swaps sogenannte Credit Valuation Adjustments (CVA), Debit (DVA), Funding (FVA) etc. ein. Ein unbesicherter Swap hat Kreditrisiko beider Parteien: der Preis muss also um CVA (Risiko Ausfall Gegenpartei) und DVA (eigener Ausfall) angepasst werden. Besicherte Swaps (heute Standard via CSA) werden typischerweise mit OIS abgezinst (man nimmt an Collateral Earns OIS). Dennoch: XVA-Adjustments können den ökonomischen Wert spürbar beeinflussen – z.B. ein lange laufender Swap mit tief im Geld Mark-to-Market führt zu pot. CVA-Kosten.
• Swap-Spread: Die Differenz zwischen Swap-Satz (z.B. 5J Swap in EUR) und risikofreier Staatsanleihen-Rendite war traditionell positiv (Swaps etwas höher, Kteditrisiko der Interbanken). Seit 2008 volatil, teils negativ. Das hat weniger mit Modell intern als mit Marktveränderungen (Liquidität, Regulation) zu tun.
• OIS Discounting: Nochmal zur Betonung: Der Markt hat sich auf OIS als Diskontierungszins geeinigt (weil OIS nahe echtes risikofreies Funding repräsentiert). Das machte theoretisch keinen Unterschied in einer Welt ohne Arbitrage (alles konsistent), aber in Praxis pre-2008 war Swapcurve ~ "risikofrei". Nun ist z.B. 3M-Libor-Kurve vs OIS eine messbare Basis; Dieselbe hat zu Multi-Curve Modeling geführt: Heute hat man separate Forward-Kurven pro Tenor (1M,3M,6M LIBOR etc.) und eine Diskontkurve. Das Pricing-Formel für Swap-Leg wurde angepasst: Diskont mit OIS, Floating Leg Zins = Forward-Libor aus jeweiliger Kurve.
• Total Return Swaps (TRS): Neben Plain-Vanilla Zins- oder Währungsswaps existieren TRS, die oft Aktien- oder Kredit-Exposure synthetisch verbriefen. Ein TRS auf einen Bond z.B. tauscht total return (Coupon + Preisänderung) gegen Libor + Spread. Wird oft genutzt, um z.B. Bilanzzugehörigkeit zu ändern: Bank A hat Bond, gibt TRS an Bank B; B hat Exposure, A hat nur Libor-Einnahmen. TRS auf Aktienindex etc. sind ökonomisch ähnlich wie ein Finanzierungsgeschäft (Margin Lending).
• Variante Fixed-Rate vs CMS-Rate Swaps: Ein Constant Maturity Swap (CMS) zahlt z.B. alle 3 Monate den 10-Jahres-Swapzins. Solche Strukturen haben Eingebettete Optionen, da 10J Rate in 3 Monaten unbekannt, aber fix entlohnt. CMS-Produkte sind populär (z.B. zur Steepness-Spekulation). Die Bewertung braucht ein Modell (z.B. LMM), und ergab CMS Adjustment (convexity) um vom Forward Swap Rate zum erwarteten Payoff zu kommen.
• Inflationsswaps: Hier eine Partei zahlt fixe Inflationsrate, andere realisierte Inflation (basiert z.B. auf CPI). Wurden modisch nach 2000. Sie erfordern noch separate Models (Inflation can be seen as asset with own risk factors correlated with rates).
• Longevity Swaps: Speziell in Versicherungswelt – zahlt tatsächlich lebenslängliche Rente vs Fix. Dient Pensionskassen als Hedge. Bew. stützt auf Sterbetafel-Szenarien.
• Großverluste: Swaps waren Auslöser einiger Krisen: z.B. Gibson Greetings (Verluste mit Zins-Swaps in 1994, Bankers Trust Skandal), Procter & Gamble (komplexer Leveraged Swap -> 90 Mio Verlust[104]). Lehre war oft: Komplexe Zinsstruktur (z.B. ein Swaption eingebettet im Swap -> Hebel) in falschen Händen = Gefahr.
• Regulatorik: Durch Dodd-Frank/EMIR sind OTC-Swaps Clearing-pflichtig (Standard-Swaps), wodurch Kontrahentenrisiko reduziert wird aber Variation Margin floss. Das hat Pricing beeinflusst: Variation Margin in cash ~ fungiert wie Partial Payment = Eff. Diskont mit OIS.
• Neueste Markttrends:

·         SOFR Swaps: Libor soll bis 2021/23 abgeschafft, alternative risikofreie Tageszinsen (SOFR, €STR) werden Basis. Dies ändert Pricing minimal (neue forward basis), aber Transition hat Marktauswirkungen (Liquidität verlagert).

·         Environmental Swaps: z.B. Emission verbunden. Eher neu, kein großes Volumen aber thematisch wachsend.

Swaps bleiben Arbeitspferd der Finanzindustrie mit gigantischem Volumen. Ihr Grundprinzip ist robust, und Innovationen sind meist Variation an Underlying (Inflation, Credit) oder Flow (besichert/unbesichert). Moderne Pricing muss jedoch die Feinjustierung (XVA, Multi-curve) beachten – sonst kann man in Niedrigzinsumgebung oder bei stress easily falsch bewerten.

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Abschließend untermauern die Kapitel seit der Einleitung, dass Derivate von einfachen Forwards und Optionen bis zu hochkomplexen strukturierten Produkten reichen. Die Bewertungstheorie hat sich enorm entwickelt – vom Black-Scholes-Modell bis zu modernen stochastischen Zins- und Kreditmodellen. Dabei war stets ein Treiber: Große Verluste und Krisen, die Schwächen aufzeigten und zu Korrekturen führten. Im letzten Kapitel betrachten wir exemplarisch einige dieser Fälle und die daraus gezogenen Lehren.

Große Verluste bei Derivatgeschäften und ihre Lehren

Die Geschichte der Derivatemärkte ist nicht nur von Erfolgen, sondern auch von spektakulären Verlusten geprägt. Immer wieder haben Fehlanwendungen, falsche Modellannahmen oder schlicht betrügerische Aktivitäten zu großen Schäden geführt – sowohl bei Finanzinstituten als auch bei Unternehmen und Kommunen. Einige bekannte Beispiele:

• Barings Bank (1995): Ein junger Händler (Nick Leeson) baute in Singapur massive gehebelte Positionen in Nikkei-225-Futures und Optionen auf, um Verluste zu verstecken – entgegen allen Risikoregeln. Eine plötzliche Marktbewegung (Erdbeben in Kobe) führte zu gigantischen Verlusten (~1 Mrd. USD)[105], die die traditionsreiche Barings Bank in den Ruin trieben. Ursache: fehlende Trennung von Front- und Backoffice, keine Limitkontrolle (Leeson konnte als Leiter Settlement seine eigenen Trades verschleiern).
• LTCM (Long-Term Capital Management, 1998): Ein Hedge-Fonds, geführt von Nobelpreisträgern, hatte mit komplexen Arbitragestrategien in Zinsderivaten und Bonds gewaltige Positionen mit hohem Leverage aufgebaut. Man ging von statistisch seltenen Korrelationen aus. Als 1998 die Russlandkrise ausbrach, liefen die Positionen extrem gegen LTCM – es verlor in Wochen ~4 Mrd. USD[106] und musste durch ein Banken-Konsortium unter Federführung der FED gerettet werden. Lehren: selbst ausgefeilte Modelle können Extremrisiken (Tail Risk) unterschätzen, zu hoher Fremdkapitalhebel ist fatal, und Marktkorreliertes Verhalten (alle versuchen zugleich zu verkaufen) kann Illiquidität erzeugen.
• Allied Irish Banks (2002): AIB verlor ~700 Mio. USD durch die Aktivitäten eines Devisenhändlers (John Rusnak), der jahrelang unerkannt falsche Optionsgeschäfte verbuchte[107]. Hier war ähnlich wie bei Barings fehlende Kontrolle das Problem – ein Einzeltäter konnte Limits umgehen und Verluste verstecken.
• Amaranth Advisors (2006): Dieser Hedge-Fonds wettete mit Erdgas-Futures und Swaps auf steigende Gaspreise und verlor ~6 Mrd. USD, als sich die Preise entgegengesetzt entwickelten[107]. Ein Schwerpunkt war eine extreme Konzentration auf einen Sektor (Energie) und Mängel im Risikomanagement (zu optimistische Annahmen über Gaspreis-Volatilität).
• Société Générale (2008): Hier verursachte ein einzelner Händler (Jérôme Kerviel) durch unautorisierte Aktienindex-Futures-Positionen einen Verlust von ~7 Mrd. USD[108]. Wiederum war Versagen interner Kontrollen der Auslöser.
• Finanzkrise 2007/08: Subprime-Krise – zwar kein einzelnes Ereignis, aber viele Banken erlitten zusammen zig Milliarden Verluste durch komplexe Kreditderivate (CDOs) und darauf geschriebene Absicherungen (AIG verlor z.B. über $30 Mrd. durch CDS-Verpflichtungen auf Subprime-CDOs). Die Modelle hatten systemische Korrelation und Illiquidität extrem unterschätzt, Worst-Case-Szenarien (hausübergreifender Preisverfall am Immobilienmarkt) galten als “jahrhundertjähriges Ereignis”, das dann eintrat[108].

Auch außerhalb des Finanzsektors gab es Derivate-Desaster: - Procter & Gamble (1994): P&G verlor 90 Mio. USD mit exotischen Zinsderivaten (Leveraged Swaps)[109], die Bankers Trust verkauft hatte. Hier war das Problem, dass die Komplexität der Strukturen von P&G nicht durchschaut wurde; der Fall führte zu mehr Transparenzforderungen. - Metallgesellschaft (1993): Die deutsche MG AG verlor ~1,8 Mrd. USD mit einer missglückten Terminöl-Absicherungsstrategie (Long im Spot, Short im Future mit Rollover)[110]. Das eigentlich sinnvolle Hedge-Konzept geriet durch Liquiditätsengpässe (Margin Calls) in Schieflage, als Ölpreise stark fielen und das Unternehmen die Rolls nicht mehr finanzieren konnte. - Orange County (1994): Der kalifornische Bezirk investierte seine Kassenmittel in hochgehebelte Zinsderivate (Inverse Floaters etc.). Als die Zinssätze stiegen, erlitt das Portfolio ~2 Mrd. USD Verlust[109] und der County musste Konkurs anmelden. Grund: Einsatz von Derivaten ohne adäquates Verständnis und Risikomanagement im öffentlichen Sektor.

Die Liste ließe sich fortsetzen (Sumitomo 1996: 2 Mrd. Verlust in Kupfer-Futures; Hammersmith and Fulham 1989: 600 Mio. DM Verlust in Swap-Spekulationen einer Gemeinde, etc.)[104]. Aus all diesen Fällen wurden zahlreiche Lehren gezogen, die heute ins Risikomanagement eingeflossen sind:

• Quantifizierung und Limitierung von Risiken: Jedes Derivateportfolio muss mit Kennzahlen (VaR, Greeks, Stress Scenarios) überwacht werden. Es müssen klare Limits gesetzt und unabhängig kontrolliert werden[111]. Exzessive Hebelwirkung ist strikt zu begrenzen – Leverage kills, wie LTCM zeigte.
• Strikte Einhaltung der Limits: Auch wenn ein Händler Gewinne macht, darf er nicht über Limits hinaus agieren[112]. Die Versuchung, bei Erfolg Limits zu dehnen, führt zu unkontrollierten Risiken. Kein “Freibrief” für sogenannte Star-Trader.
• Trennung von Funktionen (4-Augen-Prinzip): Front-Office (Händler) muss getrennt sein von Back-Office (Abwicklung/Kontrolle)[113]. Fälle wie Leeson (Barings) und Kerviel (SocGen) wären entdeckt worden, wenn nicht dieselbe Person quasi sich selbst kontrollieren konnte. Ebenso muss die Bewertung (Mark-to-Market) unabhängig sein.
• Verständnis der Produkte: Management und Aufsichtsgremien müssen die eingesetzten Derivate verstehen[114]. Hammersmith und Orange County hätten keine komplexen Swaps eingehen dürfen, deren Risiko sie nicht durchdrungen. Institutionen müssen Know-how aufbauen oder von riskanten Konstrukten die Finger lassen (“Never invest in something you can’t explain to your board”).
• Kein reines Vertrauen in Track Record: Nur weil ein Händler lange Gewinne machte, ist das keine Garantie[115]. Z.B. Kerviel und Leeson galten zeitweise als Gewinner, bevor die Bombe platzte. Es müssen Prozesse über Personen gestellt werden.
• Diversifikation und Gesamtübersicht: Risiken dürfen nicht in einer Strategie oder einem Faktor konzentriert sein[116]. LTCM’s Untergang war, dass viele Wetten implizit auf eine Normalität der Korrelationen setzten – Diversifikation war illusorisch, als alle Positionen gleichzeitig litten. Diversifikation muss auch systemische Zusammenhänge berücksichtigen (nicht nur statistisch vergangenheitsbasiert).
• Stress Tests und Szenarioanalysen: VaR und Modelle haben Grenzen (etwa Annahme normaler Märkte)[117]. Daher regelmäßige Stress-Szenarien: “Was wenn Zins +2% in einem Tag?” oder “Was wenn Aktienmarkt -20%?”. Solche Analysen offenbaren oft Schwachstellen, die VaR (95/99%-Quantil) nicht sieht. Wichtig: qualitativ denken, nicht nur historische Variation extrapolieren. Orange County z.B. war anfällig gegen Zinsschock – ein plausibles Szenario, das hätte erkannt werden können.
• Liquiditätsrisiko beachten: Einige Strategien sind zwar theoretisch wertneutral am Ende, erfordern aber Zwischenfinanzierung (Margin). Metallgesellschaft lernte: selbst ein “hedged” Portfolio kann sterben, wenn Cash-Flow-Mismatch da ist. Daher Liquiditätsplanung und Worst-Case-Liquiditätsbedarf ermitteln (inkl. Reservekapital)[118].
• Modelle können falsch liegen: Blindes Vertrauen in Modelle (Value-at-Risk, Korrelationen, Pricing-Modelle) ist gefährlich[119]. Man muss Modellrisiko bewusst steuern, alternative Annahmen testen. LTCM war zu sicher, dass ihre Modellrelationen sich normalisieren würden – tat es nicht im Stress.
• Keine Intransparenz zulassen: Unternehmen sollten nicht intransparente Off-Balance-Strukturen nutzen, um Risiken zu verstecken (Lehman hatte z.B. Repo 105, Enron missbrauchte Derivatvehikel). Transparenz nach innen (gegenüber Risikoabteilung) und außen (gegenüber Aufsicht) ist essentiell.
• Personalrotation und Kontrolle der Macht einzelner: Verhindern, dass ein Händler zu viel Macht über Systeme bekommt[113]. Bei Barings war Leeson “der Mann in Singapur”. Solche Schlüsselstellungen müssen rotiert oder eng beäugt werden.

Diese und weitere Lessons haben zur heutigen robusteren Derivate-Infrastruktur geführt. Clearinghäuser reduzieren Gegenparteiausfallrisiken (wie 2008 AIG problematisch war), Regulierung wie EMIR verlangt mehr Kapitalunterlegung und Meldepflichten für OTC-Positionen. Intern setzen Banken strengere Limits und XVA-Bewertungen an, um Risiken adequat zu bepreisen.

Natürlich können trotz aller Maßnahmen neue Verluste entstehen – Derivate bleiben mächtige Werkzeuge, und Fehlbedienung ist nie auszuschließen. Dennoch ist das Kollektivwissen gewachsen: Heutige Risiko-Manager sind sich bewusst, welche Katastrophen passieren können und achten insbesondere auf das, was außerhalb des üblichen Erwartungshorizonts liegt (Tail Risk, “Schwarze Schwäne”).

So schließt sich der Bogen: Von den theoretischen Grundlagen bis zu den praktischen Erfahrungen zeigt sich, dass Derivate verantwortungsbewusstes Management erfordern. In den richtigen Händen dienen sie als nützliche Schutz- und Optimierungsinstrumente; in den falschen Händen oder bei falschen Anreizen können sie erheblichen Schaden anrichten. Die Wissenschaft und Praxis der Derivate entwickeln sich ständig weiter – getrieben durch neue Ideen, Marktentwicklungen und die Lehren aus Fehlern der Vergangenheit. Die umfassende Kenntnis aller hier behandelten Aspekte – von Futures über Optionen, Modelle, bis hin zu Risikomanagement – ist letztlich der Schlüssel, Derivate sicher und sinnvoll einzusetzen.

Quellen: Die in diesem Text gemachten Ausführungen stützen sich auf eine Vielzahl von Fachliteratur und empirischen Befunden, u.a. John Hulls Standardwerk “Options, Futures and Other Derivatives”[42][50], akademische Artikel zu Modelltheorie[101], sowie dokumentierte Fallstudien großer Derivateverluste[120][104][121]. Die Zitate und Referenzen an den jeweiligen Stellen geben einen direkten Einblick in diese Quellen und untermauern die behandelten Inhalte wissenschaftlich.

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https://www.studysmarter.de/studium/bwl/rechnungswesen-studium/finanzderivate/

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[11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] Optionen, Futuresund andere Derivate - 7., aktualisierte Auflage - *ISBN 978-3-8273-7281-9* - © 2009 Pearson Studium

https://bilder.buecher.de/zusatz/26/26617/26617587_inha_1.pdf

[24] [25] A Complete Guide to Eurodollar Futures in 2026 • Benzinga

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[29] [30] Aktienoption • Definition | Gabler Wirtschaftslexikon

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[31] Put-Call-Parität • Definition | Gabler Banklexikon

https://www.gabler-banklexikon.de/definition/put-call-paritaet-60746

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[92] [93] [94] [95] [96] [97] [98]  Was sind Exotische Optionen und welche Arten gibt es? | IG Deutschland

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[99] [100] Wetterderivate | Gabler Versicherungslexikon

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[101] Martingalmaß – Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Martingalma%C3%9F

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